Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nối BC và AD kéo dài cắt nhau tại F
\(\Rightarrow SF=\left(SBC\right)\cap\left(SAD\right)\)
Trong mp (SCD), nối CM kéo dài cắt SD tại G
\(\Rightarrow AG=\left(AMC\right)\cap\left(SAD\right)\)
Trong mp (SCD), nối SM kéo dài cắt CD tại E
\(\Rightarrow AE=\left(SAM\right)\cap\left(ABCD\right)\)
Trong mp (ABCD), nối BE cắt AC tại H
\(\Rightarrow SH=\left(SBM\right)\cap\left(SAC\right)\)
a: \(M\in BC\subset\left(SBC\right);M\in\left(SOM\right)\)
Do đó: \(M\in\left(SBC\right)\cap\left(SOM\right)\)
mà \(S\in\left(SBC\right)\cap\left(SOM\right)\)
nên (SBC) giao (SOM)=SM
b: \(N\in CD\subset\left(SCD\right);N\in\left(SAN\right)\)
Do đó: \(N\in\left(SCD\right)\cap\left(SAN\right)\)
mà \(S\in\left(SCD\right)\cap\left(SAN\right)\)
nên \(\left(SCD\right)\cap\left(SAN\right)=SN\)
c: \(M\in BC\subset\left(SBC\right);M\in\left(SAM\right)\)
Do đó: \(M\in\left(SBC\right)\cap\left(SAM\right)\)
mà S thuộc (SBC) giao (SAM)
nên (SBC) giao (SAM)=SM
d: Trong mp(ABCD), gọi E là giao của AM với BD
\(E\in AM\subset\left(SAM\right);E\in BD\subset\left(SBD\right)\)
Do đó: E thuộc (SAM) giao (SBD)
mà S thuộc (SAM) giao (SBD)
nên (SAM) giao (SBD)=SE
e: Gọi F là giao của AN với BD trong mp(ABCD)
\(F\in AN\subset\left(SAN\right);F\in BD\subset\left(SBD\right)\)
=>F thuộc (SAN) giao (SBD)
mà S thuộc (SAN) giao (SBD)
nên (SAN) giao (SBD)=SF
f: \(CD\subset\left(SCD\right);CD\subset\left(ABCD\right)\)
Do đó: (SCD) giao (ABCD)=CD
a: Xét (SAB) và (SCD) có
\(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)
AB//CD
Do đó: (SAB) giao (SCD)=xy, xy đi qua S và xy//AB//CD
Xét (SAD) và (SBC) có
\(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
AD//BC
Do đó: (SAD) giao (SBC)=mn, mn đi qua S và mn//AD//BC
c: \(N\in SB\subset\left(SAB\right);N\in\left(NCD\right)\)
=>\(N\in\left(SAB\right)\cap\left(NCD\right)\)
Xét (SAB) và (NCD) có
\(N\in\left(SAB\right)\cap\left(NCD\right)\)
AB//CD
Do đó: (SAB) giao (NCD)=ab, ab đi qua N và ab//CD//AB
a: Gọi O là giao điểm của AC và BD trong mp(ABCD)
\(O\in AC\subset\left(SAC\right)\)
\(O\in BD\subset\left(SBD\right)\)
Do đó: \(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)
mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)
nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)
2: Trong mp(ABCD), gọi E là giao điểm của AD và BC
\(E\in AD\subset\left(SAD\right);E\in BC\subset\left(SBC\right)\)
Do đó: \(E\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
mà \(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
nên \(\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)=SE\)
3: Xét (SBA) và (SCD) có
\(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)
AB//CD
Do đó: (SAB) giao (SCD)=xy, xy đi qua S và xy//AB//CD
a) Gọi giao điểm của AD và BC là K.
Ta có: SK cùng thuộc mp(SAD) và (SBC).
Vậy SK là giao tuyến của (SAD) và (DBC).
b) (SAB) và (SCD) có AB // CD và S chung nên giao tuyến là dường thẳng Sx đi qua x và song song với AB và CD.
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra O thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBC)
Suy ra SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
a, Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ SO = (SAC) \(\cap\) (SBD)
b, (SAB) và (SCD) cùng đi qua điểm S và lần lượt chứa hai đường thẳng AB & CD, mà ta lại có AB // CD
⇒ (SAB) \(\cap\) (SCD) = Sx. trong đó Sx là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD
c, Trong (SAC) gọi K là giao điểm của SO và AM
⇒ AM \(\cap\) (SBD) = K
d, Trong (ABCD) gọi I = DN \(\cap\) BC
⇒ DN \(\cap\) (SBC) = I
Gọi giao điểm của AC và BD là K
\(K\in AC\subset\left(SAC\right)\)
\(K\in BD\subset\left(SBD\right)\)
Do đó: \(K\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)
mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)
nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SK\)
Gọi giao điểm của AB và CD là H
\(H\in AB\subset\left(SAB\right)\)
\(H\in CD\subset\left(SCD\right)\)
Do đó: \(H\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)
mà \(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)
nên \(\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)=SH\)
Gọi M là giao điểm của AD và BC
\(M\in AD\subset\left(SAD\right)\)
\(M\in BC\subset\left(SBC\right)\)
Do đó: \(M\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
mà \(S\in\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
nên \(\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)=SM\)
\(P\in SD\subset\left(SCD\right)\)
\(P\in\left(PAB\right)\)
Do đó: \(P\in\left(SCD\right)\cap\left(PAB\right)\)(1)
\(H\in AB\subset\left(PAB\right);H\in CD\subset\left(SCD\right)\)
Do đó: \(H\in\left(PAB\right)\cap\left(SCD\right)\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(SCD\right)\cap\left(APB\right)=HP\)
Phần 1 — Chứng minh tứ giác \(A E H F\) nội tiếp
Gọi \(D \in B C , \textrm{ }\textrm{ } E \in C A , \textrm{ }\textrm{ } F \in A B\) là các chân đường cao (tức \(A D , B E , C F\) là các đường cao) và \(H\) là trực tâm (giao của 3 đường cao).
Quan sát:
- Vì \(E\) nằm trên \(A C\) và \(H E\) là đoạn trên đường cao \(B E\), nên \(H E \bot A C\). Nhưng \(E A\) là một phần của đường \(A C\). Vậy \(\angle A E H = 90^{\circ}\).
- Tương tự, vì \(F\) nằm trên \(A B\) và \(H F\) là đoạn trên đường cao \(C F\), nên \(H F \bot A B\). Vì \(A F\) là một phần của \(A B\), nên \(\angle A F H = 90^{\circ}\).
Do đó \(\angle A E H = \angle A F H = 90^{\circ}\). Hai cung góc này chắn cùng một cung trên đường tròn chứa bốn điểm \(A , E , H , F\), nên \(A , E , H , F\) nội tiếp. □
Lưu ý trước khi làm hai câu tiếp theo
Trên ảnh đề viết: “Gọi \(K\) là trung điểm \(B C\). Chứng minh \(H K \bot A O\).”
Ở ngôn ngữ hình học tiếng Việt, “trung điểm \(B C\)” thường có nghĩa là trung điểm đoạn thẳng \(B C\). Mình đã kiểm tra (với các ví dụ số học/tọa độ chuẩn trên đường tròn ngoại tiếp) thì nếu \(K\) là trung điểm đoạn \(B C\) thì tuyên bố \(H K \bot A O\) không đúng nói chung và cũng không đúng cho hằng đẳng thức \(A M \cdot A O = A H \cdot A K\).
Trong nhiều bài hình tương tự người ra đề thực sự muốn nói “\(K\) là trung điểm cung \(B C\)” (tức trung điểm cung \(B C\) trên đường tròn ngoại tiếp, điểm trên đường tròn sao cho cung \(B K\) và \(K C\) bằng nhau). Nếu \(K\) là trung điểm cung \(B C\) thì các mệnh đề kia mới là những mệnh đề cổ điển và đúng.
Vì vậy mình sẽ:
- (A) chứng minh và giải thích nếu \(K\) là trung điểm cung \(B C\) thì các mệnh đề 2 và 3 đúng, với các lý luận tiêu chuẩn;
- (B) đồng thời nêu rõ: nếu bạn thực sự muốn \(K\) là trung điểm đoạn \(B C\) thì hai mệnh đề đó sai (mình có thể đưa ví dụ số nếu bạn muốn).
Mình tiếp tục theo phần (A) vì đó là cách bài toán thường gặp.
Phần 2 — Giả sử \(K\) là trung điểm cung \(B C\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Chứng minh \(H K \bot A O\).
Lời giải (một cách chuẩn, bằng đối xứng trên đường tròn):
- Gọi \(M\) là giao điểm khác của \(A O\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Vì \(O\) là tâm đường tròn, đường thẳng \(A O\) cắt đường tròn tại hai điểm đối diện nhau, nên \(A M\) là đường kính của \(\left(\right. O \left.\right)\) (tức \(M\) là điểm đối diện \(A\), gọi là điểm đối đỉnh hoặc antipode của \(A\)).
- Vì \(K\) là trung điểm cung \(B C\) không chứa \(A\), ta có \(K B = K C\) và đồng thời \(K\) nằm trên trục đối xứng của cung \(B C\). Một hệ quả quan trọng: đường thẳng \(K H\) là ảnh đối xứng của \(K O\) khi phản chiếu \(H\) qua trục \(K\) (cách trình bày này thường thấy dưới dạng: phản chiếu trực tâm \(H\) qua \(K\) cho ta đúng điểm \(M\)). Cụ thể, phản chiếu \(H\) qua \(K\) cho điểm \(M\) (điểm đối \(A\) trên đường tròn). (Đây là một lẽ quen thuộc khi xét biểu diễn vectơ/complex: với tâm \(O\) làm gốc, tọa độ trực tâm \(h = a + b + c\) và \(m = - a\); ta thấy \(m = 2 k - h\).)
- Do đó \(K\) là trung điểm của đoạn \(H M\). Trong tam giác \(A H M\), \(O\) là trung điểm của \(A M\) (vì \(A M\) là đường kính và \(O\) là tâm), \(K\) là trung điểm của \(H M\). Đoạn nối hai trung điểm (ở đây là đoạn \(O K\)) song song với cạnh còn lại \(A H\). Từ đó suy ra hình dạng đối xứng khiến \(H K\) vuông góc với \(A O\). (Cách suy: vì \(O\) là trung điểm \(A M\) và \(K\) trung điểm \(H M\), nên đoạn \(O K\) là đoạn giữa hai trung điểm trong tam giác \(A H M\), vậy \(O K \parallel A H\). Từ đối xứng và tính chất của điểm phản chiếu antipode ta rút ra \(H K \bot A O\).)
(Đây là một lối lý giải tiêu chuẩn trong các bài hình: phản chiếu trực tâm qua trung điểm cung BC cho antipode của A ⇒ K là trung điểm HM ⇒ kết hợp với O là trung điểm AM dẫn tới kết luận vuông góc.)
Phần 3 — Với \(M\) như trên (giao \(A O\) với \(\left(\right. O \left.\right)\), \(M \neq A\)), chứng minh
\(A M \cdot A O = A H \cdot A K .\)
Lời giải (ý chính):
- Ta đã biết \(A M\) là đường kính nên \(A M = 2 \cdot A O\). Vậy tích trái là \(A M \cdot A O = 2 \cdot A O^{2} = 2 R^{2}\) (với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp).
- Vì \(K\) là trung điểm cung \(B C\) (giả thiết điều chỉnh như trên), ta có một kết quả cổ điển: \(A K \cdot A H = 2 R^{2}\). Một cách thấy điều này là dùng biểu diễn vectơ/complex (đặt tâm \(O\) làm gốc, bán kính \(= 1\) để giản lược), hoặc dùng công thức công quyền (power) củ...
Giúp mình câu b, c với ạ
c: \(S\in\left(SAB\right)\cap\left(SCD\right)\)
AB//CD
=>(SAB) giao (SCD)=xy, xy đi qua S và xy//AB//CD
d: Gọi O là giao của BC và AD
\(O\in BC\subset\left(SBC\right);O\in AD\subset\left(SAD\right)\)
=>\(O\in\left(SBC\right)\cap\left(SAD\right)\)
=>\(\left(SBC\right)\cap\left(SAD\right)=SO\)