Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B A C D E F G
Dựng hình vuông ABFC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng CF tại G.
Xét tam giác BFG và tam giác BAD có: BF = BA; FBG=ABD (vì cùng phụ vói góc DBF)
Suy ra hai tam giác này bằng nhau. Suy ra BD=BG.
Trong tam giác BEG vuông tại B có đường cao BF
nên theo hệ thức lượng ta có: \(\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BG^2}+\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{BF^2}=\frac{1}{AC^2}\) không đổi.
A B C D K E F
a/ Ta có : góc KAD = góc EAB vì cùng phụ với góc DAE ; AD = AB
=> tam giác DAK = tam giác ABE (cgv.gnk)
=> AK = AE => tam giác AKE là tam giác cân
b/ Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông : \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\) không đổi
đoán đề là M thuộc BD hoặc M thuộc CD, nhưng M thuộc cái nào thì giải vẫn vậy thôi, do câu e) có liên quan nên đến đấy mới xét M, nhưng vẽ hình là M thuộc CD cho dễ nhìn nhé
a) Có: \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=90^0-\widehat{AEB}=90^0-\left(90^0-\widehat{EAB}\right)=\widehat{EAB}\)
Xét 2 tam giác vuông ADN và ABE có: AD=AB và ^NAD=^EAB => \(\Delta ADN=\Delta ABE\) (g-c-g) => \(AN=AE\)
Tam giác vuông AEN có AE=AN => AEN vuông cân tại A
b) Hình chữ nhật ABCD có BD là đường chéo => \(\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=45^0\)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ODN}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}=90^0\)\(\Leftrightarrow\)\(\widehat{ADB}+\widehat{ODN}+\widehat{ADN}=180^0\)
=> B, D, O thẳng hàng
c) Có: \(\Delta MDA~\Delta ADN\) ( do \(\widehat{NAD}=90^0-\widehat{MAD}=\widehat{AMD}\) và \(\widehat{ADN}=\widehat{MDA}=90^0\) )
=> \(\frac{AD}{AM}=\frac{DN}{AN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB}{AM}=\frac{DN}{AE}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AB^2}{AM^2}=\frac{DN^2}{AE^2}\)
=> \(\frac{AB^2}{AM^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2}{AE^2}+\frac{AB^2}{AE^2}=\frac{DN^2+AD^2}{AE^2}=\frac{AN^2}{AE^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{AB^2}\) ( đpcm )
d) Tam giác AEN vuông cân tại A nên có OA là đường trung tuyến nên OA cũng là đường cao => \(OA\perp NE\)
e) từ câu c) ta có: \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{AM^2.AE^2}}=\frac{2}{AM.AE}\)
Dấu "=" xảy ra khi M trùng với C(M thuộc CD) hoặc M là trung điểm của BD(M thuộc BD) (đã nói ở đầu bài)