Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a) Khi $m=1$ thì HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x+y=1\Leftrightarrow y=1-x\)
Khi đó, hệ có nghiệm $(x,y)=(a,1-a)$ với $a$ là số thực bất kỳ.
Khi $m=-1$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ -x+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow (x-y)+(-x+y)=2\Leftrightarrow 0=2\) (vô lý)
Vậy HPT vô nghiệm
Khi $m=2$ thì hệ trở thành: \(\left\{\begin{matrix} x+2y=1\\ 2x+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow (x+2y)-(2x+y)=1-1=0\Leftrightarrow y-x=0\Leftrightarrow x=y\)
Thay $x=y$ vào 1 trong 2 PT của hệ thì có: $3x=3y=1\Rightarrow x=y=\frac{1}{3}$Vậy........
b)
PT $(1)\Rightarrow x=1-my$. Thay vào PT $(2)$ có:
$m(1-my)+y=1\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)$
b.1
Để HPT có nghiệm duy nhất thì $(*)$ có nghiệm $y$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow (1-m)(1+m)\neq 0$
$\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
b.2 Để HPT vô nghiệm thì $(*)$ vô nghiệm $y$. Điều này xảy ra khi $1-m^2=0$ và $1-m\neq 0$
$\Leftrightarrow m=-1$
b.3 Để HPT vô số nghiệm thì $(*)$ vô số nghiệm $y$. Điều này xảy ra khi $1-m^2=0$ và $1-m=0$
$\Leftrightarrow m=1$
c) Ở b.1 ta có với $m\neq \pm 1$ thì $(*)$ có nghiệm duy nhất $y=\frac{1}{m+1}$
$x=1-my=\frac{1}{m+1}$
Thay vào $x+2y=3$ thì:
$\frac{3}{m+1}=3\Leftrightarrow m=0$
Bài 1:
- Với \(m=0\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}0x+y=3.0-1\\x+0y=0+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=0\) hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
- Với \(m\ne0\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m^2x-my=-3m^2+m\\x+my=m+1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(1-m^2\right)x=-3m^2+2m+1\left(1\right)\)
- Với \(m=1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=0\) (phương trình vô số nghiệm).
\(\left(2\right)\Rightarrow x+y=2\Leftrightarrow y=2-x\)
- Vậy với \(m=1\) thì hệ đã cho có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=2-x\end{matrix}\right.\)
Với \(m=-1\). Thế vào (1) ta được:
\(0x=-4\) (phương trình vô nghiệm)
Vậy với \(m=-1\) thì hệ đã cho vô nghiệm
Với \(m\ne\pm1,0\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+2m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-3m^2+3m-m+1}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m\left(1-m\right)+\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\left(1-m\right)\left(3m+1\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m+1}{m+1}\)
Thay vào (2) ta được:
\(\dfrac{3m+1}{m+1}+my=m+1\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=\left(m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3m+1+my\left(m+1\right)=m^2+2m+1\)
\(\Leftrightarrow my\left(m+1\right)=m^2-m\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m\left(m-1\right)}{m\left(m+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{m-1}{m+1}\)
Vậy với \(m\ne\pm1\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{3m+1}{m+1};\dfrac{m-1}{m+1}\right)\).
Bài 2:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-\left(m+1\right)y=1\left(2\right)\\4x-y=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4x+4\left(m+1\right)y=-4\\4x-y=-2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4\left(m+1\right)y-y=-6\)
\(\Leftrightarrow\left(4m+3\right)y=-6\)
\(\Rightarrow y=-\dfrac{6}{4m+3}\)
Để y nguyên thì:
\(6⋮\left(4m+3\right)\)
\(\Rightarrow\left(4m+3\right)\inƯ\left(6\right)\)
\(\Rightarrow4m+3\in\left\{1;2;3;6;-1;-2;-3;-6\right\}\)
| 4m+3 | 1 | 2 | 3 | 6 | -1 | -2 | -3 | -6 |
| m | -1/2 (loại) | -1/4 (loại) | 0 (nhận) | 3/4 (loại) | -1 (nhận) | -5/4 (loại) | -3/2 (loại) | -9/4 (loại) |
\(\Rightarrow m\in\left\{0;-1\right\}\)
Với \(m=0\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.0+3}=-2\)
Thay vào (1) ta được:
\(4x-\left(-2\right)=-2\Leftrightarrow x=-1\)
Thử lại \(x=-1;y=-2\) cho (2) ta thấy phương trình nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-1;-2\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Với \(m=-1\) ta có \(y=-\dfrac{6}{4.\left(-1\right)+3}=6\)
Thay \(y=6\) vào (2) ta được:
\(4x-6=-2\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Thử lại \(x=1;y=6\) cho (2) ta thấy pt nghiệm đúng.
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;6\right)\) là 1 nghiệm nguyên của hệ phương trình.
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\)
=>\(m^2\ne1\)
=>\(m\notin\left\{1;-1\right\}\)
Khi \(m\notin\left\{1;-1\right\}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=m+1\\mx+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m\left(m+1-my\right)+y=2m\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m+1-my\\m^2+m-m^2y+y-2m=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(-m^2+1\right)=-m^2+m\\x=m+1-my\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}=\dfrac{m\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\dfrac{m}{m+1}\\x=m+1-\dfrac{m^2}{m+1}\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m}{m+1}\\x=\dfrac{\left(m+1\right)^2-m^2}{m+1}=\dfrac{2m+1}{m+1}\end{matrix}\right.\)
Để \(\left\{{}\begin{matrix}x>=2\\y>=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1}{m+1}>=2\\\dfrac{m}{m+1}>=1\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2\left(m+1\right)}{m+1}>=0\\\dfrac{m-m-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2m+1-2m-2}{m+1}>=0\\\dfrac{-1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{m+1}>=0\\-\dfrac{1}{m+1}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+1< 0\)
=>m<-1
a Để hpt có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(-2;3\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2+3m=4\\-2n+3=-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m=6\\-2n=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=2\end{matrix}\right.\)
b Để hpt có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{n}=\dfrac{m}{1}=\dfrac{4}{-3}\) \(\left(\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{n}=-\dfrac{4}{3}\\m=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\n=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy...
\(a,\text{Thay }x=-2;y=3\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-2=4\\3-2n=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=3\end{matrix}\right.\\ b,HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-my\\n\left(4-my\right)+y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-my\\4n-mny+y=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4-my\\y\left(mn-1\right)=4n+3\end{matrix}\right.\)
HPT có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mn-1=0\\4n+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-\dfrac{4}{3}\\n=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)
a) Thay m=3 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=1\\x+y=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4y=-8\\x+y=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9-y\\y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi m=3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=2\end{matrix}\right.\)
b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{1}\ne\dfrac{-m}{1}\)
\(\Leftrightarrow-m\ne1\)
hay \(m\ne-1\)
Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(m\ne-1\)
c) Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì \(\dfrac{1}{1}=\dfrac{-m}{1}=\dfrac{1}{m^2}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m=1\\m^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)
Vậy: Để hệ phương trình có vô số nghiệm thì m=-1
\(\left\{{}\begin{matrix}3x+y=3\\mx+y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-mx=0\\3x+y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-m\right)x=0\\3x+y=3\end{matrix}\right.\)
Muốn hệ phương trình vô nghiệm, cần:
\(\left(3-m\right)x\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne0\\m\ne3\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3-3x\\ mx+y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow mx+3-3x=3\)
$\Leftrightarrow x(m-3)=0(*)$
Để hpt vô nghiệm thì $(*)$ vô nghiệm $x$
Điều này vô lý vì $(*)$ luôn có nghiệm $x=0$
Do đó không tồn tại $m$ để hpt vô nghiệm.