Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{2x-1}{-x-1}=-2x+m\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)
Đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+4\right)^2-8\left(m+1\right)>0\\-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2+8>0\) với mọi m
Vậy với mọi m, đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1\ne x_2\)
Theo Viet : \(x_1+x_2=\frac{4+m}{2},x_1.x_2=\frac{m+1}{2}\)
\(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow\frac{m+1}{2}-4\left(\frac{m+4}{2}\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{22}{3}\)
Vậy \(m=-\frac{22}{3}\) thì đường thẳng \(y=-2x+m\) cắt đồ thì (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
Giải:
PT hoành độ giao điểm:
\(mx+2m-\frac{3}{x}=0\Leftrightarrow mx^2+2mx-3=0\)
Dễ thấy \(m\neq 0\)
1. Để thu được điều thỏa mãn thì trước tiên \(\Delta'=m^2+3m>0\Leftrightarrow \) \(m<-3\) hoặc \(m>0\)
Áp dụng định lý Viete:\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2\\ x_1x_2=\frac{-3}{m}\end{matrix}\right.\)
2. Từ suy ra để có hai hoành độ trái dấu thì \(x_1x_2<0\Leftrightarrow \frac{-3}{m}<0\Leftrightarrow m>0\)
Từ 1,2 suy ra \(m>0\) là tập giá trị cần tìm.
Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)
Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)
Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \) là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)
\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :
\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)
\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)
Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)
Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)
Chọn B.
Cách 1:
Để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình 
có ba nghiệm phân biệt, hay phương trình 
có ba nghiệm phân biệt.
Điều này tương đương với đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số 
tại 3 điểm phân biệt.
Đường thẳng y = mx đi qua gốc tọa độ.
Đường thẳng y = x là tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
(như hình minh họa trên).
Do đó với m > 1 thì đường thẳng y = mx cắt đồ thị hàm số 
tại 3 điểm phân biệt.
Cách 2:
Để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình 
có ba nghiệm phân biệt.
Dễ thấy x = 0 không thể là nghiệm nên 
Xét hàm số 
trên tập 
Ta có bảng biến thiên sau:
Để phương trình 
có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m > 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox :
\(\frac{mx^2+x+m}{x-1}=0\Leftrightarrow mx^2+x+m=0\left(1\right)\), \(x\ne1\)
Đặt \(f\left(x\right)=mx^2+x+m\)
(C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương
\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\\Delta=1-4m^2>0\\f\left(1\right)=1+2m\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne0\\-\frac{1}{2}< m< \frac{1}{2}\end{cases}\)
Vậy với \(\begin{cases}m\ne0\\-\frac{1}{2}< m< \frac{1}{2}\end{cases}\) thì điều kiện bài toán thỏa mãn