Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi AD,AE lần lượt là đường kính của (O1);(O2), M là trung điểm đoạn DE
Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt (O1);(O2) lần lượt tại P,Q (khác A)
Khi đó A là trung điểm của PQ. Thật vậy:
Từ AE,AF là đường kính của (O1);(O2) suy ra ^ABD = ^ABE = ^APD = ^AQE = 900
=> D,B,E thẳng hàng và DP // EQ. Do đó tứ giác PQED là hình thang vuông
Từ đó AM // PD // QE. Mà M là trung điểm DE nên A là trung điểm PQ.
b) Từ câu a dễ nhận ra độ dài DE không đổi. Hạ EH vuông góc với DP tại H
Khi đó PQ = EH < DE = const. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cắt tuyến PAQ // DE.
c) Ta có BP là một dây của đường tròn (O1) => BP < 2R1. Tương tự BP < 2R2
Suy ra CBPQ = BP + BQ + PQ < DE + 2R1 + 2R2 = CDAE = const
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cát tuyến PAQ // DE.
d) Hạ PK,QL thứ tự vuông góc với đường thẳng AB. Ta có:
2SBPQ = AB(PK + QL) < AB.PQ < AB.DE = 2SDAE = const => SBPQ < SDAE
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cát tuyến PAQ // DE.
1) Do B, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO nên \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy nên AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Xét tam giác vuông ABO có \(AO=R\sqrt{2};OB=R\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
\(AB=\sqrt{AO^2-BO^2}=R\)
Vậy thì AC = AB = R.
2) Ta thấy tứ giác ABOC có AB = BO = OC = CA = R nên nó là hình thoi.
Lại có \(\widehat{ABO}=90^o\) nên ABOC là hình vuông.
3) Xét tam giác ADC và tam gác ACE có:
Góc A chung
\(\widehat{ACD}=\widehat{AEC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung DC)
\(\Rightarrow\Delta ADC\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}\Leftrightarrow AD.AE=AC^2=R^2\) = hằng số.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có AM.AN = AB2 = R2 = hằng số.
Vậy nên AM.AN = AD.AE = R2.
4) Xét đường tròn (O), ta có K là trung điểm dây cung MN nên theo liên hệ đường kính dây cung, ta có: \(OK\perp MN\) hay \(\widehat{AKO}=90^o\)
Vậy thì K thuộc đường tròn đường kính OA.
Do AMN là cát tuyến nên K thuộc cung tròn BmC (trên hình vẽ).
5) Ta có ABOC là hình vuông nên AO và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vậy thì BC qua tâm I.
Từ đó ta có \(\widehat{IJO}=90^o\)
Lại vừa chứng minh được \(\widehat{JKO}=90^o\).
Tứ giác IJKO có tổng hai góc đối bằng 180o nên IJKO là tứ giác nội tiếp hay O, K, I, J cùng thuộc một đường tròn.
Ta có AB = AC nên \(\widebat{AB}=\widebat{AC}\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{CBA}=\widehat{JBA}\)
Vậy thì \(\Delta ABJ\sim\Delta AKB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AK}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AK=AB^2\)