Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M A B C D O P Q I N E F
a) Sđ(CM = Sđ(BC => ^BDC = ^MAC hay ^IDP = ^PAI => ADPI nội tiếp
b) Theo câu a: ^API = ^ADI = ^AMB => IP || MQ, tương tự IQ || MP. Suy ra MPIQ là hình bình hành => PI =MQ
c) Dễ thấy I là tâm nội tiếp tam giác ABC => N là điểm chính giữa cung nhỏ AB => N cố định
Đường tròn (O) có MN là dây cung => Trung điểm của MN nằm trên đường tròn đường kính ON cố định
Giới hạn quỹ tích: NA,NB cắt (ON) tại E và F khác N, vậy thì trung điểm MN chạy trên cung lớn EF của (ON).
M A C D B O K N E F H I
a/
Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn
b/
Ta có
\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\)
Ta có
MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)
M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N
c/
Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có
OC chung
NC = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)
Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)
Ta có
sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)
=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN
=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB
\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)
Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)
Xét tg CKA và tg ODC có
\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)
d/
Gọi I là giao của EF với MA
Xét tg OAB và tg OEF có
OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))
\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)
Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)
Xét \(\Delta MIE\) có
\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I
a, Ta có : CM = CA ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
DM = DB ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
=> CM + DM = AC + DB <=> DC = AC + BD
b, Vì CM = CA ( cmt )
OM = OA = R
=> OC là đường trung trực đoạn MA
=> OC vuông AM => ^MHO = 900(1)
Vì OM = OB ( tc tiếp tuyến cắt nhau )
OM = OB = R
=> OD là đường trung trực đoạn mb
=> OD vuông MB => ^MKO = 900(2)
^AMB = 900 ( điểm thuộc đường tròn nhìn đường kính ) (3)
Xét tứ giác MHOK có (1) ; (2) ; (3)
Vậy tứ giác MHOK là hình chữ nhật
c, Xét tứ giác OMBD có ^OMD + ^OBD = 1800
mà 2 góc này đối
Vậy tứ giác OMBD là tứ giác nt 1 đường tròn
=> ^MDO = ^MBO ( góc nt chắn cung MO )
Vì tứ giác MHOK là hcn => ^COD = 900
Xét tam giác MAB và tam giác OCD ta có :
^AMB = ^COD = 900
^MBA = ^CDO ( cmt )
Vậy tam giác MAB ~ tam giác OCD ( g.g )
=> \(\frac{MA}{OC}=\frac{MB}{OD}\Rightarrow MA.OD=MB.OC\)