Question

[Nga Phạm]

cho đường tròn O, duong kinh AB, day CB khong cat duong kinh AB. goi E va F theo thu tu la chan cac duong vuong goc voi CD ke tu A den B voi CD. chung minh rang : OE=OF va CF=DE

Answer 1

[nguyen thi vang]

Ta có : CD//AB (gt)

\(\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{MOB}=90^o\) (trong cùng phía)

Xét tứ giác BOMF có :

\(\widehat{OMB}=\widehat{MOB}=\widehat{MFB}=90^o\)

=> Tứ giác BOMF là hình chữ nhật

Xét tứ giác AEFB có :

\(\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{B}=90^o\)

=> Tứ giác AEFB là hình chữ nhật

Xét \(\Delta AEO,\Delta BFO\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB\left(\text{Bán kính đường tròn}\right)\\\widehat{EAO}=\widehat{FBO}=90^o\\AE=BF\left(AEFBlàhcn\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AEO=\Delta BFO\left(c.g.c\right)\)

=> EO = OF (2 cạnh tương ứng) (1)

* \(\Delta OEF\) :

Từ (1) => \(\Delta OEF\) là tam giác cân tại O

=> \(\widehat{OEF}=\widehat{OFE}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta OEMvà\Delta OFM\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}OE=OF\left(cmt\right)\\OM:Chung\\\widehat{OEM}=\widehat{OFM}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta OEMvà\Delta OFM\) (c.g.c)

=> EM = FM (2 cạnh tương ứng) (3)

Có : \(OM\perp CD\)

=> CM = DM (đường kính vuông góc với 1 dây) (4)

Từ (3) và (4) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}ME=MF\\CM=DM\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CM+MF=ME+DM\\\rightarrow CF=DE\left(đpcm\right)\end{matrix}\right.\)