Question

[Pose Black]

cho đường tròn O đường kính AB = 2R . kẻ dây DE vuông góc với AB tại H ( H nằm giữa A và B) . Từ E  kẻ EK vuông góc với BD ( K thuộc BD). K cắt đường kính AB tại C

1. Chứng minh BKHE là tứ giác nội tiếp       

2. Chứng minh góc HKC = góc HBK và HK^2 = HC. HB  

3. Qua K kẻ dây PQ vuông góc với DE ( P thuộc cung nhỏ AD; Q thuộc cung nhỏ BD). Chứng minh rằng DQ²  + EP² = 4R² 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét tứ giác BKHE có \(\widehat{BKE}=\widehat{BHE}=90^0\)

nên BKHE là tứ giác nội tiếp

2: ΔODE cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của DE

Xét ΔBDE có

BH là đường cao

BH là đường trung tuyến

Do đó: ΔBDE cân tại B

=>BH là phân giác của góc DBE

=>\(\widehat{HBE}=\widehat{HBD}\)

mà \(\widehat{HBE}=\widehat{HKE}\)

nên \(\widehat{HKC}=\widehat{HBK}\)

Xét ΔHKC và ΔHBK có

\(\widehat{HKC}=\widehat{HBK}\)

\(\widehat{KHC}\) chung

Do đó: ΔHKC~ΔHBK

=>\(\dfrac{HK}{HB}=\dfrac{HC}{HK}\)

=>\(HK^2=HB\cdot HC\)