Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\angle BDN=180^{\circ}-\angle ADE=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC.\) Mặt khác xét tam giác \(\Delta BCI\) có \(\angle BIC=180^{\circ}-\angle IBC-\angle ICB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle ACB\right)\)
\(=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\).
Vậy ta có \(\angle BIC=\angle BDN.\) Xét hai tam giác \(\Delta BIC,\Delta BDN\) có \(\angle BIC=\angle BDN\left(=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right);\angle IBC=\angle DBN=\frac{1}{2}\angle ABC\to\)\(\Delta BIC\sim\Delta BDN\left(g.g\right)\).
b) Theo trên \(\angle BIC=\angle BDN=\angle MEC.\) Mà \(\angle ICB=\angle ECM=\frac{1}{2}\angle ACB\to\Delta BCI\sim\Delta MCE\left(g.g\right).\)
Theo kết quả câu a) ta được \(\Delta BDN\sim\Delta MEC\) (ĐPCM)
Ta sẽ chứng minh DNB^ = ICB^
Tức là chứng minh tứ giác ENCI nội tiếp.
Ta có: \(\widehat{NIC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (1)
Mặt khác, AD = AE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
=> tam giác DAE cân tại A
=> \(\widehat{AED}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) => NIC^ = AED^
mà AED^ = NEC^ (đối đỉnh)
=> NIC^ = NEC^ => tứ giác ENCI nội tiếp
=> ENI^ = ECI^
mà ECI^ = ICB^ (I là tâm đtròn ntiếp)
=> ENI^ = ICB^ => DNB^ = ICB^ (*)
Mặt khác, DBN^ = IBC^ (I là tâm đtròn ntiếp) (**)
Từ (*) và (**) => tam giác BDN đồng dạng tam giác BIC (g.g) (đpcm)
a) Ta dễ chứng minh \(\widehat{BIC}=90^o+\dfrac{\widehat{A}}{2}\).
Ta thấy \(\widehat{BFK}=\widehat{A}+\widehat{AEF}=\dfrac{\widehat{A}}{2}+\widehat{IAE}+\widehat{AEF}\) \(=90^o+\dfrac{\widehat{A}}{2}\)
Nên \(\widehat{BIC}=\widehat{BFK}\)
Xét 2 tam giác BIC và BFK, ta có:
\(\widehat{FBK}=\widehat{IBC}\) (do BI là tia phân giác của \(\widehat{FBC}\)) và \(\widehat{BIC}=\widehat{BFK}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BIC~\Delta BFK\left(g.g\right)\) (đpcm)
b) Từ \(\Delta BIC~\Delta BFK\Rightarrow\dfrac{BI}{BF}=\dfrac{BC}{BK}\) \(\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BF}{BK}\)
Xét 2 tam giác BIF và BCK, ta có
\(\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BF}{BK}\) và \(\widehat{IBF}=\widehat{CBK}\)
\(\Rightarrow\Delta BIF~\Delta BCK\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\widehat{BFI}\)
Mà \(\widehat{BFI}=90^o\) nên \(\widehat{BKC}=90^o\) (đpcm)