Question

[BarzaR xD]

Cho đường tròn đường kính AB các điểm C, D ở trên đường tròn sao cho C, D không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AC và cung AD, giao điểm của MN với AC là H, giao điểm của MD với CN là K. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là E.

a, Chứng minh tam giác NKD đồng dạng với tam giác MKC 

b, Chứng minh OE vuông góc với CD.

c, Chứng minh tam giác NHK đồng dạng với NCM và KH song song với AD;

d, Tìm vị trí của điểm C và D sao cho tam giác AMK là tam giác đều.

HELP!!!!

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B O C D M N H K E

a) Xét \(\Delta\)NKD và \(\Delta\)MKC: ^NKD = ^MKC (Đối đỉnh); ^DNK = ^CMK (Cùng chắn cung CD)

=> \(\Delta\)NKD ~ \(\Delta\)MKC (g.g) (đpcm).

b) Ta thấy: N là điểm chính giữa của cung AD => \(\Delta\)AND cân tại N => ^NAD = ^NDA

Tứ giác CAND nội tiếp đường tròn (O) => ^NAD = ^NCD; ^NDA = ^NCA.

Mà ^NAD=^NDA (cmt) => ^NCD = ^NCA => CN là phân giác ^ACD.

Tương tự ta chứng minh được: DM là phân giác ^ADC

Do DM giao CN tại K nên K là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)CAD => AK là phân giác ^CAD

Hay AE là phân giác ^CAD => ^CAE = ^DAE.

Xét tứ giác ACED nội tiếp (O) => ^CAE = ^CDE; ^DAE = ^DCE

=> ^CDE = ^DCE => \(\Delta\)DEC cân tại E => EC=ED. Mà CD là dây cung của (O)

=> OE vuông góc CD (đpcm).

c) Ta thấy ^CKM là góc ngoài của \(\Delta\)CKD => ^CKM = ^KCD + ^KDC = 1/2 (^ACD + ^ADC) (1)

Ta có: ^MCK = ^ACM + ^ACK. Mà ^ACM = ^ADM (Cùng chắn cung AM) => ^MCK = ^ADM + ^ACK

=> ^MCK = 1/2(^ADC + ^ACD) (2)

Từ (1) và (2) => ^CKM = ^MCK => \(\Delta\)CMK cân tại M => MC=MK=MA

=> M nằm trên trung trực của AK

Lập luận tương tự: NA=NK => N nằm trên trung trực của AK

=>  MN là đường trung trực của AK . Lại có H thuộc MN

=> ^NKH = ^NAH. Mà ^NAH = ^NMC (=^NAC) nên ^NKH = ^NMC.

Xét \(\Delta\)NHK và \(\Delta\)NCM: ^NKH = ^NMC; ^MNC chung => \(\Delta\)NHK ~ \(\Delta\)NCM (g.g)

\(\Delta\)AHK cân tại H => ^HAK = ^HKA. Do AK là phân giác ^CAD => ^HAK = ^KAD

=> ^HKA = ^KAD. Vì 2 góc này so le trg nên HK // AD (đpcm).

d) Nhận xét: \(\Delta\)AMK có AM=KM (cmt)

=> \(\Delta\)AMK là tam giác đều khi ^AMK=60⁰ hay ^AMD=60⁰

Mà ^AMD = ^ACD (Cùng chắn cung AD) => Để \(\Delta\)AMK đều khi ^ACD=60⁰ 

Vậy 2 điểm C và D di động trên đường tròn (O) sao cho ^ACD=60⁰ thì \(\Delta\)AMK là tam giác đều.