Question

[Hàn Minh Nguyệt]

cho đtròn tâm O đkính AB. trên đtròn lấy 1 điểm C/ C ko trùng vs A,B và CA>CB. các típ tuyến của (O) tại A, tại C cắt nhau ở D, kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB), DO cắt AC tại E.

1. cm tứ giác OECH nội típ

2.đthẳng CD cắt đthẳng AB tại F. cm \(2\widehat{BCF}+\widehat{CFB}=90^0\)

3. BD cắt CH tại M. cm EM//AB

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

1) Vì E là giao điểm của OD và AC; AD,DC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow OD\perp AC\)tại E

\(\Rightarrow\widehat{CEO}=90^0\)

Lại có: CH vuông góc với AB \(\Rightarrow\widehat{CHO}=90^0\)

Xét tứ giác OECH có: \(\widehat{CEO}+\widehat{CHO}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác OECH

\(\Rightarrow OECH\)nội tiếp (dhnb )

2) \(2\widehat{BCF}+\widehat{BFC}=sđ\widebat{BC}+\frac{1}{2}\left(sđ\widebat{AC}-sđ\widebat{BC}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(sđ\widebat{AC}+sđ\widebat{BC}\right)\)

\(=90^0\left(đpcm\right)\)

3)  Kẻ tiếp tuyến By của (O). By cắt DC tại P. Gọi K là giao điểm của BC và OP.

Ta có: AC // OP ( cùng vuông góc với BC )

Xét tam giác DOP có : EC // OP

\(\Rightarrow\frac{DE}{DO}=\frac{DC}{DP}\)(1)

Lại có: CH // BP ( cùng vuông góc với AB )

Xét tam giác DBP có: CM // BP

\(\Rightarrow\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DP}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{DE}{DO}=\frac{DM}{DB}\)

Xét tam giác DOB có \(\frac{DE}{DO}=\frac{DM}{DB}\left(cmt\right)\); E thuộc OD , M thuộc DB

\(\Rightarrow EM//OB\)ta let đảo

Hay EM // AB ( đpcm)