Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vẽ AD là đường phân giác của \(\Delta ABC\)
Vẽ BH _|_ AD, CK _|_ AD (H;K \(\in\) AD)
Ta có: \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}=\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Xét tam giác BAH vuông tại H, theo hệ thức giữa các cạnh và các góc của 1 tam giác vuông ta có:
\(BH=AB\sin\widehat{BAH}=AB\cdot\sin\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
Tương tự \(CK=AC\cdot\sin\frac{\widehat{BAC}}{2}\)
\(BH\le BD\left(BH\perp HD\right);CK\le CD\left(CK\perp KD\right)\)
Nên \(BH+CK\le BD+CD=BC\)
Do đó: \(\left(AB+AC\right)\sin\frac{\widehat{BAC}}{2}\le BC\Rightarrow\sin\frac{\widehat{BAC}}{2}\le\frac{5}{6}\)
Dấu "=" xảy ra <=> H,D,K trùng nhau
Vậy GTLN \(\sin\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{5}{6}\)
Ta có AB^2=AH^2+BH^2 (vi tam giac ABH vuong ơ H) .
Tương tư ta có AC^2=AH^2+CH^2 .=>AB^2+AC^2=2AH^2+BH^2+CH^2 .
<=>BC^2=2AH^2+BH^2+CH^2 (1) .
Lai co BH^2=BE^2+EH^2 ..................... CH^2=CF^2+HF^2 .
=>BH^2+CH^2=BE^2+CF^2+(EH^2+FH^2)=BE^2+... (vì AH^2=EH^2+FH^2) .
Thay vào (1) ta có BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2. .
Ta có BE^2=BH^2-EH^2 ..................... CF^2=CH^2-HF^2 .
=>BE^2+CF^2=(BH^2+CH^2)-(EH^2+FH^2)=(BH... . =(BH+CH)^2-2BH*CH-AH^2
=BC^2-2AH^2-AH^2 (vi tam giac ABC vuong o A nen BH*CH=AH^2) .=4a^2-3AH^2 .
Đê BE^2+CF^2 đat min thì AH^2 dat max hay tưc là AH max .
Do goc BAC=90 nen A thuoc đương tròn đương kinh BC .
=>AH lơn nhat khi A là diem chinh giua cung BC.
Hay tam giac ABC vuong can ơ A .(chú ý bài toan chi yeu câu tim ĐK cua tam giac ABC nen ta khong can tim min cua BE^2+CF^2)
Vậy.............
Kẻ AH ⊥ DE tại H
D A E ^ = 2 B A C ^
=> D A H ^ = B A C ^
Từ DE=2DH; AD=AM=AE
Suy ra DH=AD.sin D A H ^
Từ đó D E m a x <=> AM = 2R