Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn
2: Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AB
nên \(\widehat{xAB}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BA}\)
Xét (O) có
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung BA
Do đó: \(\widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{BA}\)
=>\(\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
=>AEHF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AEF}=\widehat{AHF}\)
mà \(\widehat{AHF}=\widehat{ACB}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{xAB}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên Ax//EF
Ta có: Ax//EF
OA\(\perp\)Ax
Do đó: OA\(\perp\)EF
a) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))
BC là đường kính của (O)(gt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(Định lí)
Ta có: BC=BH+HC(H nằm giữa B và C)
mà BH=9cm(gt)
và CH=16cm(gt)
nên BC=9+16=25(cm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(AB^2=BH\cdot BC\)
\(\Leftrightarrow AB^2=9\cdot25=225\)
hay AB=15(cm)
Vậy: Khi BH=9cm và CH=16cm thì AB=15cm
b) Xét tứ giác AEMF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{MFA}=90^0\)(MF⊥AC)
\(\widehat{AEM}=90^0\)(ME⊥AB)
Do đó: AEMF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒MF=AE(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEMF)
Ta có: EM⊥AB(gt)
AC⊥AB(gt)
Do đó: EM//AC(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét ΔABC có
E∈AB(gt)
M∈BC(gt)
EM//AC(cmt)
Do đó: \(\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{BM}{MC}\)(Định lí Ta lét)
⇒\(\dfrac{BE}{MF}=\dfrac{BM}{MC}\)
hay \(BE\cdot MC=BM\cdot MF\)(đpcm)
Gọi G là trung điểm của AM
Ta có: ΔAHM vuông tại M(AH⊥HM)
mà HG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)
nên \(HG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(AG=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)
nên HG=AG=GM(1)
Ta có: ΔAEM vuông tại E(ME⊥AB tại E)
mà EG là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM(G là trung điểm của AM)
nên \(EG=\dfrac{AM}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà \(GA=GM=\dfrac{AM}{2}\)(G là trung điểm của AM)
nên EG=GA=GM(2)
Từ (1) và (2) suy ra GM=GA=GE=GH
hay A,E,H,M cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét ΔABC có
BE là đường cao
CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: AH⊥BC
hay AF⊥BC
Để chứng minh $MH^2 = MC \cdot MF$, ta sử dụng định lí Euclid 1: "Trên một đoạn thẳng AB, lấy một điểm C bất kỳ. Vẽ đường cao CD từ C xuống AB. Kẻ các đường tròn đường kính AC và BD. Đường tròn (ACD) cắt đường tròn (BCD) tại E (khác C). Kẻ DE cắt AB tại F. Kẻ đường thẳng qua F và vuông góc với AB cắt đường tròn (ACD) tại G (khác A). Kẻ đường thẳng qua G và song song với AB cắt đường tròn (BCD) tại H (khác O). Kẻ đường thẳng qua F và vuông góc với AB cắt CH tại K. Kẻ đường thẳng qua K và vuông góc với BC cắt MD tại N. Kẻ đường thẳng qua N và song song với AB cắt HF tại P. Chứng minh rằng $HP = HF$."
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $H$, ta có:
$MF$ là đường cao của tam giác $AHB$ nên $MF^2 = AF \cdot FB$.$MC$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MC^2 = AC \cdot CB$.$MH$ là đường cao của tam giác $AHC$ nên $MH^2 = AH \cdot HC$.
Ta cần chứng minh $MH^2 = MC \cdot MF$, tức là $AH \cdot HC = AC \cdot CB \cdot AF \cdot FB$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $F$, ta có:
$KE$ là đường cao của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$.$CM$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $CM^2 = AC \cdot CB$.$MF$ là đường cao của tam giác $AHB$ nên $MF^2 = AH \cdot HB$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $HBC$ và điểm $K$, ta có:
$KN$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $KN^2 = HC \cdot CB$.$MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$.$MH$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $MH^2
= AH \cdot HB < AH \cdot HC = MH^2$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $HBC$ và điểm $F$, ta có: $KE$ là đường cao của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$. $MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$. Vì $AB > AC$, nên ta có $HB > HC$ và $BC > AC$. Từ đó suy ra $MF^2 > AF \cdot FB$, hay $MF^2 > MF^2 - AF \cdot FB$, tương đương với $AF \cdot FB > MF^2 - AF \cdot FB = FM \cdot FA$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $H$, ta có: $MF^2 = AF \cdot FB$. $MC$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MC^2 = AC \cdot CB$. Từ $AF \cdot FB > FM \cdot FA$, suy ra $AF + FB > FM$. Kết hợp với $AB = AF + FB$ và $AC < CB$, ta có $AB > FM + AC > FM$. Do đó, $AB > FM > MC$.
Từ $AB > FM$ và $AB > MC$, suy ra $M$ nằm giữa $F$ và $K$. Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $ABC$ và điểm $K$, ta có: $KN$ là đường cao của tam giác $HBC$ nên $KN^2 = HC \cdot CB$. $MF$ là đường trung bình của tam giác $HBC$ nên $MF^2 = HB \cdot BC$. Từ $HB > HC$ và $BC > AC$, suy ra $HB \cdot BC > HC \cdot AC$, hay $HB \cdot BC > KN^2$.
Áp dụng định lí Euclid 1 cho tam giác $AFB$ và điểm $P$, ta có: $HF$ là đường cao của tam giác $AFP$ nên $HF^2 = AF \cdot FP$. $KE$ là đường trung bình của tam giác $AFB$ nên $KE^2 = AF \cdot FB$. Từ $AF \cdot FB > FM \cdot FA$, suy ra $AF + FB > FM$. Kết hợp với $AB = AF + FB$, ta có $AB > FM$. Do đó, $AB > HF$.
Từ $AB > FM$ và $AB > HF$, suy ra $H$ nằm giữa $F$ và $K$. Áp dụng định lí Euclid 1 cho
định lí Euclid ở lớp mấy vậy bn ?