Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2=13\\x-5y-2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}26y^2+26y=0\\x=5y+2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\\\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}\end{cases}\)
\(\Rightarrow A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\) hoặc \(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\)
Vì tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C) nên AC là đường kính của đường tròn (C). Hay tâm \(I\left(-1;2\right)\) là trung điểm của AC
Khi đó : \(A\left(2;0\right);B\left(-3;-1\right)\Rightarrow C\left(-4;4\right)\)
\(A\left(-3;-1\right);B\left(2;0\right)\Rightarrow C\left(1;5\right)\)
Vậy \(C\left(-4;4\right)\) hoặc \(C\left(1;5\right)\)
D G F C N E O M B H K J I A
Gọi G là điểm đối xứng của M qua O \(\Rightarrow G=\left(1;-3\right)\in CD\)
Gọi I là điểm đối xứng của M qua O \(\Rightarrow I=\left(-1;5\right)\in AD\)
a.
Gọi \(I\left(x;y\right)\) là điểm sao cho \(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{IA}=\left(1-x;4-y\right)\\\overrightarrow{IB}=\left(-1-x;5-y\right)\\\overrightarrow{IC}=\left(-5-x;1-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\left(5x+15;5y-18\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=\frac{18}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\)
Khi đó ta có:
\(\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{MI}-4\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{IC}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow\left|-5\overrightarrow{MI}\right|=2\)
\(\Leftrightarrow MI=\frac{2}{5}\)
Vậy tập hợp M là đường tròn tâm \(I\left(-3;\frac{18}{5}\right)\) bán kính \(R=\frac{2}{5}\)
b.
Gọi \(K\left(x;y\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(x-1;y-4\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(x+1;y-5\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(x+5;y-1\right)\end{matrix}\right.\)
Do K là tâm đường tròn ngoại tiếp nên: \(\left\{{}\begin{matrix}AK=BK\\AK=CK\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK^2=BK^2\\AK^2=CK^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(y-5\right)^2\\\left(x-1\right)^2+\left(y-4\right)^2=\left(x+5\right)^2+\left(y-1\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-2y+9=0\\12x+6y+9=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{3}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(K\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)
a/ Với mọi số thực ta luôn có:
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Lại có do a;b;c là ba cạnh của 1 tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(a+c>b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế: \(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
b/
Do a;b;c là ba cạnh của tam giác nên các nhân tử vế phải đều dương
Ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\frac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)^2=b^2\)
Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)
\(\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\le c^2\)
Nhân vế với vế:
\(a^2b^2c^2\ge\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(a+c-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)