Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Dễ dàng chứng minh t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) => AB = CD
Xét t/g ACD có: AD < AC + CD
=> 2AM < AC + AB => AM < \(\frac{AB+AC}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(BN< \frac{AB+BC}{2};CF< \frac{CA+CB}{2}\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP< \frac{AB+AC+AB+BC+CA+CB}{2}=\frac{2\left(AB+AC+BC\right)}{2}=AB+AC+BC\) (1)
Gọi trọng tâm là G
Xét t/g GBC có: GB + GC > BC => \(\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP>BC\) => \(BN+CP>\frac{3}{2}BC\)
Tương tự ta có: \(AM+CP>\frac{3}{2}AC;AM+BN>\frac{3}{2}AB\)
=> BN + CP + AM + CP + AM + BN > \(\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC+\frac{3}{2}AB\)
=> 2(AM + BN + CP) > \(\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)\)
=> AM + BN + CP > \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)< AM+BN+CP< AB+BC+AC\) (đpcm)
Lời giải:
Theo BĐT về tam giác: độ dài một cạnh tam giác thì nhỏ hơn tổng độ dài 2 cạnh còn lại:
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AM< MP+AP\\ AM< MN+AN\end{matrix}\right.\Rightarrow 2AM< MP+MN+AP+AN\)
Dễ nhận thấy $MN,MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AB; MP=\frac{1}{2}AC\)
Lại có: \(AP=\frac{1}{2}AB; AN=\frac{1}{2}AC\)
Do đó: \(2AM< \frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=AB+AC\)
\(\Rightarrow AM< \frac{AB+AC}{2}\)
Hoàn toàn TT với \(BN, CP\) suy ra:
\(AM+BN+CP< \frac{AB+AC}{2}+\frac{BC+BA}{2}+\frac{CA+CB}{2}=AB+BC+AC\)
Ta có đpcm
Xét diện tích tam giác ABC:
\(S_{ABC}=\frac{AM.BC}{2}=\frac{CP.AB}{2}=\frac{BN.AC}{2}\)
=> \(AM.BC=CP.AB=BN.AC\)
=> \(AM=\frac{CP.AB}{BC}\); \(BN=\frac{CP.AB}{AC}\)
Theo gt, ta có:
\(BC+AM=AB+CP\)
\(\Leftrightarrow BC+\frac{CP.AB}{BC}=AB+CP\)
\(\frac{\Leftrightarrow CP.AB}{BC}-AB=CP-BC\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(CP.AB-AB.BC\right)}{BC}=\frac{\left(CP.BC-BC^2\right)}{BC}\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(CP-BC\right)}{BC}=\frac{BC.\left(CP-BC\right)}{BC}\)
\(\Rightarrow AB=BC\)(1)
Theo gt, ta lại có:
\(AC+BN=AB+CP\)
\(\Leftrightarrow AC+\frac{AB.PC}{AC}=AB+CP\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.PC}{AC}-AB=PC-AC\)
\(\frac{\Leftrightarrow\left(AB.PC-AB.AC\right)}{AC}=\frac{\left(CP.AC-AC^2\right)}{AC}\)
\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(PC-AC\right)}{AC}=\frac{AC.\left(CP-AC\right)}{AC}\)
\(\Rightarrow AB=AC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB=BC=AC\)
=> ĐPCM
Gọi O là trọng tâm của tam giác. Ta có:
OA + OB > AB
OA + OC > AC
OB + OC > BC
=> 2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA
\(\Rightarrow2\cdot\left(\dfrac{2}{3}AM+\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}\left(AM+BN+CP\right)>AB+BC+CA\)
\(\Rightarrow AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)\)
Ta có:
Nếu góc AMB tù hoặc vuông thì AB > AM
Nếu góc AMC tù hoặc vuông thì AC > AM
Tương tự: BC > BN hoặc BA > BN
CA > CP hoặc CB > CP
Vậy các cạnh của tam giác ABC luôn lớn hơn 2 trong 3 trung tuyến
=> AB + BC + CA > AM + BN + CP
Vậy...........................................