Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)
nên \(BC\cdot AH=AB\cdot AC\)
2:
a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC\)
b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AC^2=CH\cdot BC\)
a ) Do \(AH\perp BC\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta ABC\) cân tại A .Hay AH cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) cân tại A .
\(\Rightarrow BH=HC\)
Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta CNH\) có : \(\widehat{BMH}=\widehat{CNH}=90^0\left(gt\right);BH=HC\left(cmt\right);\widehat{B}=\widehat{C}\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta BMH\) = \(\Delta CNH\) (CH - GN) => BM = CN
Kết hợp với AB = AC => AM = AN hay \(\Delta AMN\) Cân tại A
b) \(\Delta AMN\) Cân tại A (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{AMN}}{2}\)(1)
\(\Delta ABC\) Cân tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\frac{180^0-\widehat{ABC}}{2}\)(2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) Lại ở vị trí trong cùng phía \(\Rightarrow MN\\ \)BC
c) Áp dụng định lý Pytagore và 2 tam giác vuông\(BMH\) Và \(ANH\) ta có :
\(AH^2=AN^2+HN^2\)
\(BH^2=BM^2+MH^2\Rightarrow BM^2=BH^2-MH^2\)
\(\Rightarrow AH^2+BM^2=AN^2+HN^2+BH^2-MH^2=\left(AN^2+BH^2\right)+\left(HN^2-MH^2\right)\)
\(=AN^2+BH^2\)(đpcm)
Tam giác(TG) ABC cân tại A có đường cao AH => AH đồng thời là trung tuyến => BH=HC
TG ABC cân => Góc ABC = góc ACB (2goc đáy)
TG MBH = TG NCH (cạnh huyền-góc nhọn) => MB = NC (2ctu)
mà AB = AC (vì TG ABC cân) và AM + BM = AB , AN + NC = AC
=> AM = AN
=> TG AMN cân
b) AM = BM (CMT) và AN = NC (CMT) => MN là ddg TB của TG=> MN//BC
Bài 1:
Giải:
Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\)
Trong t/g ABC vuông tại A, áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=15^2=225\)
Đặt \(\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\left(k>0\right)\Rightarrow\left\{\begin{matrix}AB=3k\\AC=4k\end{matrix}\right.\)
Mà \(AB^2+AC^2=225\)
\(\Rightarrow9k^2+16k^2=225\)
\(\Rightarrow25k^2=225\)
\(\Rightarrow k^2=9\)
\(\Rightarrow k=3\)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}AB=3.3=9\\AC=3.4=12\end{matrix}\right.\)
Vậy AB = 9 cm; AC = 12 cm
2/ áp dụng định lí Py - ta - go vào tam tam giác vuông AHB ta có:
AH2 + BH2 = AB2
=> BH.HC + BH2 = AB2
=> BH( HC + BH ) = AB2
=> BH.BC = AB2 (1)
áp dụng định lí Py - ta - go vào tam giác vuông AHC ta có:
AH2 + HC2 = AC2
=> BH.HC + HC2 = AC2
=> HC( BH + HC ) = AC2
=> HC.BC = AC2 (2)
Từ 1 và 2 ta có:
=> BH.BC + HC.BC = AB2 + AC2
=> BC( BH + HC ) = AB2 + AC2
=> BC.BC = AB2 + AC2
=> BC2 = AB2 + AC2
Theo định lí Py - ta - go đảo
=> \(\Delta ABC\) vuông tại A (đpcm)
A H C C
a. Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
\(\Rightarrow\) \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}AB.AC\)
\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AH^2}=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}\) (1)
Lại có: \(BC^2=AB^2+AC^2\) (định lý Pi-ta-go)
(1) \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{AH^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2+AC^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\) (đpcm)
a) Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC có :
AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )
AH chung
=> Tam giác vuông AHB = tam giác vuông AHC ( ch - cgv )
b) Từ tam giác vuông AHB = tam giác vuông AHC
=> ^BAH = ^CAH ( hai góc tương ứng )
Xét tam giác vuông AHE và tam giác vuông AHF có :
AH chung
^BAH = ^CAH ( cmt )
=> tam giác vuông AHE = tam giác vuông AHF ( ch - gn )
=> HE = HF ( hai cạnh tương ứng )
Lời giải:
1.
Xét tam giác $ABH$ và $ACH$ có:
$AH$ chung
$AB=AC$ (do $ABC$ cân tại $A$)
$BH=CH$ (do $H$ là trung điểm của $BC$)
$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle ACH$ (c.c.c)
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$
Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=\widehat{BHC}=180^0$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$
$\Rightarrow AH\perp BC$
2. Dễ thấy $ME\parallel DA, MD\parallel AE$
Xét tam giác $ADM$ và $MEA$ có:
$\widehat{DAM}=\widehat{EMA}$ (so le trong)
$\widehat{DMA}=\widehat{EAM}$ (so le trong)
$MA$ chung
$\Rightarrow \triangle ADM=\triangle MEA$ (g.c.g)
$\Rightarrow DM=EA(1), AD=ME$
Do $ABC$ là tam giác vuông cân nên $\widehat{B}=45^0$
Tam giác $BDM$ vuông tại $D$ có góc $\widehat{B}=45^0$ nên là tam giác vuông cân. $\Rightarrow BD=DM(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow BD=AE$
Mà $AB=AC\Rightarrow AB-BD=AC-AE\Leftrightarrow AD=EC$ (đpcm)
3.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông:
$MB^2+MC^2=(BD^2+DM^2)+(ME^2+EC^2)$
$=(DM^2+DM^2)+(AD^2+AD^2)=2(DM^2+AD^2)=2AM^2$ (đpcm)
Ta cần chứng minh:
\(AB^2+AC^2+BC^2=CH^2+2AH^2+5BH^2\)
\(\Leftrightarrow2AB^2+BC^2=6BH^2+2AH^2\)
Mà ta có:
\(2AB^2+BC^2=2\left(AH^2+BH^2\right)+4BH^2\)
\(=6BH^2+2AH^2\)
Vậy ta có ĐPCM