NH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
19 tháng 11 2019
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
T
4 tháng 6 2019
#)Giải :
Ta có : \(P=a^4+b^4+2-2-ab\)
Áp dụng BĐT cô si, ta có :
\(a^4+1\ge2a^2\)dấu = xảy ra khi a = 1
\(b^4+1\ge2b^2\)dấu = xảy ra khi b = 1
Khi đó \(P\ge2a^2+2b^2-2-ab\)
\(P\ge2\left(a^2+b^2+ab\right)-2-3ab\)
\(P\ge4-3ab\)( thay \(a^2+b^2+ab=3\)vào ) (1)
Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)
Khi đó \(a^2+b^2+ab=3\ge2ab+ab=3ab\)
\(\Rightarrow ab\le1\)(2)
Từ (1) và (2)
Ta có : \(P\ge4-3ab\ge4-3=1\)
Vậy P đạt GTNN là 1 khi a = b = 1
#~Will~be~Pens~#
NT
Cho biểu thức \(P=a^4+b^4-ab\), với a,b là số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+ab=3\). Tìm GTLN và GTNN của P
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 7 2020
Lời giải:
$P=a^4+b^4-ab=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2-ab$
$=(3-ab)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2+9-7ab=-[(ab)^2+7ab-9]$
Ta thấy:
$3=a^2+b^2+ab=(a-b)^2+3ab\Rightarrow 3ab=3-(a-b)^2\leq 3\Rightarrow ab\leq 1$
$3=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab\Rightarrow ab=(a+b)^2-3\geq -3$
Vậy $1\geq ab\geq -3(*)$
Ta có:
$(ab)^2+7ab-9=ab(ab-1)+8(ab-1)-1=(ab+8)(ab-1)-1$. Vì $(*)$ nên $(ab+8)(ab-1)\leq 0$
$\Rightarrow (ab)^2+7ab-9=(ab+8)(ab-1)-1\leq -1$
$\Rightarrow P\geq 1$ hay $P_{\min}=1$
Mặt khác:
$(ab)^2+7ab-9=ab(ab+3)+4(ab+3)-3=(ab+3)(ab+4)-3\geq -3$ do $ab\geq -3$
$\Rightarrow P=-[(ab)^2+7ab-9]\leq 3$ hay $P_{\max}=3$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM: $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ và $a^2+b^2\geq 2ab$
$\Rightarrow a+b\leq 2$ và $ab\leq 1$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^3+b^3)(a+b)\geq (a^2+b^2)^2=4\Rightarrow a^3+b^3\geq frac{4}{a+b}\geq \frac{4}{2}=2$
$\Rightarrow a^3+b^3+4\geq 6(1)$
Lại có: $ab+1\leq 1+1=2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{6}{2}=3$ hay $P_{\min}=3$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
-----------------
Tìm max:
$a^2+b^2=2\Rightarrow (a+b)^2=2(1+ab)\Rightarrow ab+1=\frac{(a+b)^2}{2}$
Đặt $a+b=t$ thì $ab+1=\frac{t^2}{2}$.
Dễ thấy $(a+b)^2=2(1+ab)\geq 2$ do $ab\geq 0$ nên $a+b\geq \sqrt{2}$ hay $t\geq \sqrt{2}$
Biến đổi $P$
$P=\frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)+4}{ab+1}=\frac{(a+b)[3-(ab+1)]+4}{ab+1}$
$=\frac{t(3-\frac{t^2}{2})+4}{\frac{t^2}{2}}=\frac{t(6-t^2)+8}{t^2}=\frac{6}{t}+\frac{8}{t^2}-t\leq \frac{6}{\sqrt{2}}+\frac{8}{2}-\sqrt{2}$ do $t\geq \sqrt{2}$
Hay $P\leq 4+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=4+2\sqrt{2}$ khi $(a,b)=(\sqrt{2},0)$ và hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020
Lê Anh Ngọc: vậy thì bạn có thể làm như sau.
Biến đổi y như phần tìm max, tức là có $P=\frac{6}{t}+\frac{8}{t^2}-t$
$t^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2(a^2+b^2)-(a^2+b^2-2ab)=2(a^2+b^2)-(a-b)^2\leq 2(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow t^2\leq 4\Rightarrow t\leq 2$
Do đó: $P\geq \frac{6}{2}+\frac{8}{2^2}-2=3$
22 tháng 12 2018
Áp dụng bđt AM-GM:
\(M\ge\dfrac{a^3}{a^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+\dfrac{a^2+c^2}{2}+a^2}\)
\(=\dfrac{a^3}{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{b^3}{\dfrac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^3}{\dfrac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)
Xét:
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\)
\(=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+b-\dfrac{b^2c}{b^2+c^2}+c-\dfrac{c^2a}{c^2+a^2}\)
\(\ge a+b+c-\dfrac{ab^2}{2ab}-\dfrac{b^2c}{2bc}-\dfrac{c^2a}{2ac}=a+b+c-\dfrac{a}{2}-\dfrac{b}{2}-\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow M\ge1."="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
22 tháng 12 2018
dòng thứ 5 từ dưới lên cái đầu là bc^2 nhé. Cái sau là ca^2
9 tháng 12 2018
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
T
9 tháng 12 2018
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)