Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn CM \(a^5+b^5\ge ab\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{1}{a^3+b^3+abc}\)
Tiếp tục \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\le\frac{c}{a+b+c}\)
Tương tự cộng lại suy ra \(VT\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
\(A=\frac{ab}{a+c+b+c}+\frac{bc}{a+b+a+c}+\frac{ca}{a+b+b+c}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Nên max A là \(\frac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Lời giải:
\(Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{ac}{b+ac}+\frac{bc}{a+bc}-\frac{1}{4abc}=\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}+\frac{ac}{b(a+b+c)+ac}+\frac{bc}{a(a+b+c)+bc}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}+\frac{ac}{(b+a)(b+c)}+\frac{bc}{(a+b)(a+c)}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4abc}\)
\(=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)-2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{4abc}\) (đẳng thức quen thuộc \((a+b)(b+c)(c+a)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc\) )
\(=1-\left(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{4abc}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{108abc}\geq 2\sqrt{\frac{1}{54(a+b)(b+c)(c+a)}}\).
Mà \(2=(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{108abc}\geq \frac{1}{2}\)
\(1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{13}{54abc}\geq \frac{13}{2}\)
Do đó: \(\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{1}{4abc}\geq 7\)
\(\Rightarrow Q\leq 1-7=-6=Q_{\max}\)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
bạn ơi lí do vì sao ở cái biểu thức bạn rút gọn là \(1-\left(\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{4abc}\right)\)
nhưng bạn dùng bđt cô-si lại là
\(\dfrac{2abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{108abc}\)
\(\dfrac{1}{4abc}\) bạn không dùng mà bạn lại dùng là \(\dfrac{1}{108abc}\) vậy bạn?
Bạn có thể giải thích rõ chỗ đó cho mình được không bạn?
Vào link này nha bn :https://olm.vn/hoi-dap/detail/80735647348.html
Học tốt !!!
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si): \(A\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{1}{a\left(b+c\right).b\left(c+a\right).c\left(a+b\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+ca\right)\left(bc+ab\right)\left(ca+bc\right)}}\)
\(\ge\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
P/s: Check giúp em xem có ngược dấu không:v
Cach khac
Dat \(\left(ab;bc;ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\x^2+y^2+z^2\ge3\\xyz\le1\end{cases}}\)
Ta co:
\(A=\frac{1}{ab+b^2}+\frac{1}{bc+c^2}+\frac{1}{ca+a^2}\)
\(=\frac{1}{x+\frac{xy}{z}}+\frac{1}{y+\frac{yz}{x}}+\frac{1}{z+\frac{zx}{y}}\ge\frac{9}{3+xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(a=b=c=1\)
Từ \(a^5+b^5=\left(a+b\right)\left(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\right]\)
\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\right]\)
\(=\left(a+b\right)\left[a^2b^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\right]\)
\(\ge\left(a+b\right)^2a^2b^2\forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+ab\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+1\right]\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^5+b^5+ab}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{c}{a+b+c}\left(abc=1\right)\)
Tương tự cũng có: \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\le\frac{a}{a+b+c};\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le\frac{b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế ta có:
\(VT\le\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Từ giả thiết:
\(2024abc\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge\dfrac{3^3}{2024^3}\)
Lại có:
\(2024abc\ge a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right).3\sqrt[3]{abc}\ge a+b+c.\sqrt[3]{\dfrac{3^3}{2024^3}}\)
\(\Rightarrow2024abc\ge\dfrac{3}{2024}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{abc}\le\dfrac{2024^2}{3}\)
Từ đó:
\(Q=\dfrac{a}{a^2+bc}+\dfrac{b}{b^2+ca}+\dfrac{c}{c^2+ab}\)
\(Q\le\dfrac{a}{2\sqrt{a^2.bc}}+\dfrac{b}{2\sqrt{b^2.ca}}+\dfrac{c}{2\sqrt{c^2.ab}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\right)\)
\(Q\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{abc}}\right)\le\dfrac{\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}{2\sqrt{abc}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\dfrac{a+b+c}{abc}}\le\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{\dfrac{2024^2}{3}}=1012\)
\(Q_{max}=1012\) khi \(a=b=c=\dfrac{3}{2024}\)