Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
trong đề thi HSG tỉnh thanh hóa năm 2010-2011(đánh lên mạng đi,hình như là bài 5)
nhận liên hợp ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=x^2+1-x^2=1\)
mà theo đề bài ta có \(\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)
==> \(\sqrt{x^2+1}-x=y+\sqrt{y^2+1}\)
tương tự ta có \(\sqrt{x^2+1}+x=\sqrt{y^2+1}-y\)
trừ từng vế 2 pt trên ta có 2x=-2y <=>x=-y
đến đây ok rùi nhé bạn
2. ĐK: \(x\ge-5\)
\(\Leftrightarrow\left(x+5-6\sqrt{x+5}+9\right)+\left(x^2-8x+16\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)
\(\forall x\ge-5\) ta luôn có \(\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2+\left(x-4\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+5}-3=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = 4 (nhận)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}\)
\(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2+1-z^2}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2+1-x^2}{2}\)
=>\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-z^2}{2}+\frac{z^2+1-x^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=1-y^2;y^2=1-z^2;z^2=1-x^2\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức với nhau ta được: \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2=3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)(đpcm)
Áp dung BĐT co- si, ta có:
\(y+z\le\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\)
D đó: \(\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)
tương tự: \(\frac{y^2}{z+x}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}},\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)
Đặt : \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{x^2+z^2}=c\left(a,b,c>0\right)\)
Khi đó: \(T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\left(\frac{\left(a+c\right)^2}{2b}-b\right)+\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)+\left(\frac{\left(b+c\right)^2}{2a}-a\right)\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+c\right)-3b+2\left(a+b\right)-3c+2\left(b+c\right)-3a\right)\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2017}{2}}\)
Bài 1
Từ giả thiết, bình phương 2 vế, ta được:
\(x^2y^2+\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2015\)
\(\Leftrightarrow2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}=2014.\)
\(A^2=x^2\left(y^2+1\right)+y^2\left(x^2+1\right)+2x\sqrt{y^2+1}.y\sqrt{x^2+1}\)
\(=2x^2y^2+x^2+y^2+2xy\sqrt{x^2+1}.\sqrt{y^2+1}\)
\(=2014\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2014}.\)
Bài 2:
Đặt \(\sqrt{2015}=a>0\)
\(\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left(y+\sqrt{y^2+a}\right)=a\text{ }\left(1\right)\)
Do \(\sqrt{y^2+a}-y>\sqrt{y^2}-y=\left|y\right|-y\ge0\) nên ta nhân cả 2 vế với \(\sqrt{y^2+a}-y\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+a}\right)\left[\left(y^2+a\right)-y^2\right]=a.\left(\sqrt{y^2+a}-y\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+a}+x=\sqrt{y^2+a}-y\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{y^2+a}+y=\sqrt{x^2+a}-x\)
Cộng theo vế 2 phương trình trên, ta được \(x+y=-\left(x+y\right)\Leftrightarrow x+y=0\)
Bài 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+z\sqrt{z}\ge3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.y\sqrt{y}.z\sqrt{z}}=3\sqrt{xyz}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
Thay vào tính được \(A=2.2.2=8\text{ }\left(x=y=z\ne0\right).\)
Mình cũng học lớp 9 nhưng mk ko biết làm bài này.
Đk: \(-1\le x,y,z\le1\)
Ta có: \(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}=\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{1}{2}\) (bđt cosi)
CMTT: \(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{1}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{1}{2}\)
=> VT = \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2-y^2}{2}+\frac{y^2-z^2}{2}+\frac{z^2-x^2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
VP = 3/2
=> VT = VP <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=1-y^2\\y^2=1-z^2\\z^2=1-x^2\end{cases}}\) <=> \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x ^2\)
<=> \(2x^2+2y^2+2z^2=3\) <=> \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)