Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
dự đoán của chúa Pain a=b=3
áp dụng BDT cô si dạng " Senpou" ta có
lưu ý dạng " Senpou" ko có trong sách giáo khoa
và chỉ được sử dùng khi trong tình thế nguy cấp như . thể hiện . tán gái ...., và chỉ lừa được những thằng ngu :)
ko nên dùng trc mặt thầy cô giáo
\(27=a^2+b^2+ab\ge3\sqrt[3]{a^2b^2ab}=3ab.\)
\(a^3+b^3+3^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.3^3}=9ab\)
mà \(3ab\le27\Leftrightarrow9ab\le27.3=81\)
suy ra
\(a^3+b^3+3^3\ge81\Leftrightarrow a^3+b^3\ge81-27=54\)
dấu = xảy ra khi a=b=3
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
\(a^2+b^2\le1+ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-\left(a+b\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\) (Do \(a^3+b^3=a^5+b^5\) )
\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+ab^5+a^5b+b^6\)
\(\Leftrightarrow2a^3b^3\le ab^5+a^5b\)
\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5+2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b>0\))
Vậy \(a^2+b^2\le1+ab\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương , ta có :
\(a^2+b^2\) ≥ \(2ab=2\) ( Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 )
Do đó : \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\) ≥ \(2\left(a+b+1\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+2\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+\left(a+b\right)+\left[\left(a+b\right)+\dfrac{4}{a+b}\right]\)
⇔ \(A\) ≥ \(2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{\left(a+b\right).\dfrac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}=8\)
⇒ \(A_{Min}=8\) ⇔ a = b = 1
Kiu m nhoa