Y
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
3 tháng 4 2015
\(A=\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{21}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+...+\frac{1}{70}\right)\)Nhận xét:
\(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{20}<\frac{1}{11}+...+\frac{1}{11}=\frac{10}{11}<\frac{10}{10}=1\)
\(\frac{1}{21}+\frac{1}{22}+...+\frac{1}{30}<\frac{1}{21}+...+\frac{1}{21}=\frac{10}{21}<\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}<\frac{1}{31}+...+\frac{1}{40}=\frac{10}{31}<\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}<\frac{1}{41}+...+\frac{1}{41}=\frac{10}{41}<\frac{10}{40}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}<\frac{1}{51}+...+\frac{1}{60}=\frac{10}{51}<\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+...+\frac{1}{70}<\frac{1}{61}+...+\frac{1}{61}=\frac{10}{61}<\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\)
\(A<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)<1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)(ĐPCM)
NL
0
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 3 2017
Bài 1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(1=(a^2+b^2)(m^2+n^2)\geq (am+bn)^2\Rightarrow -1\leq am+bn\leq 1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}\) . Kết hợp với \(a^2+b^2=m^2+n^2=1\)
\(\Rightarrow \) dấu bằng xảy ra khi \(a=\pm m;b=\pm n\)
Bài 2)
Ta thấy:
\((ac-bd)^2\geq 0\Rightarrow a^2c^2+b^2d^2\geq 2abcd\Rightarrow (ac+bd)^2\geq 4abcd\)
\(\Leftrightarrow 4\geq 4cd\rightarrow cd\leq 1\Rightarrow 1-cd\geq 0\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(ac=bd=\pm 1\) và \(cd=1\) ....
Bài 3)
Vế đầu:
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)
Nhân $2$ và chuyển vế \(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng nên BĐT đầu tiên cũng đúng.
Vế sau:
\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó BĐT sau cũng luôn đúng với mọi số thực $a,b,c$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
21 tháng 3 2017
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+n^2=1\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(m^2+n^2\right)=\left(am\right)^2+\left(an\right)^2+\left(bm\right)^2+\left(bn\right)^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left[\left(ambn-\left(an\right)^2\right)+\left(ambn-\left(bm\right)^2\right)\right]=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left[an\left(bm-an\right)\right]+\left[bm\left(an-bm\right)\right]=1\)
\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left(bm-an\right)\left(an-bm\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left(an-bm\right)^2=1\\ \)
\(\left(an-bm\right)^2\ge0\forall_{a,b,m,n}\Rightarrow\left(am+bn\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow-1\le\left(am+bn\right)\le1\Rightarrow dpcm\)
NM
2
KN
4 tháng 3 2020
Ta có: \(b< c\Rightarrow b-c< 0\)
Kết hợp với \(b+c< a+\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)+\left(b+c\right)< 0+\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow2b< a+1\)
Lại có: \(1< a\Rightarrow a+1< 2a\)
Suy ra \(2b< a+1< 2a\Rightarrow2b< 2a\)
\(\Rightarrow b< a\)(đpcm)
NN
0
Ta có: \(C=\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{7.8}+...+\frac{1}{51.52}\)C bé hơn\(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{50.52}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{50}-\frac{1}{52}\right)\)
C bé hơn \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{52}\right)\)bé hơn\(\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)(đpcm)
xin lỗi nha mk ko biết viết kí hiệu bé hơn
mik cảm ơn nha