Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(ax+by\right)^2=1\Leftrightarrow\left(ax\right)^2+2abxy+\left(by\right)^2=1\Leftrightarrow2xy\le1\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
tháo ngoặc thu gọn đưa về 1 vế biến thành HĐT xong ,áp dụng thì bình phương lên là ra dạng
cố nhìn đi
*Áp dụng Cosi với x,y>0 ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(2\right)\)
Nhân (1),(2) có: \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)
**\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x^2+y^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=4\)
Có: \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\le4\)
Theo Cosi ta có: \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\left(\frac{2}{x+y}\right)^2\ge\left(\frac{2}{1}\right)^2=4\)
Áp dụng Cosi ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{8}\)(1)
Mà ta có ở trên: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}\ge2\)
Vậy Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4+4+2=10\)
Với x=y=1/2
a) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
b)
Ta có
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\frac{bc}{a+1}=\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
\(\frac{ac}{b+1}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{ab}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4\left(A+b\right)}+\frac{ac}{4\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{ab+bc}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+ac}{4\left(b+c\right)}+\frac{bc+ac}{4\left(a+b\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\)
\(=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\)