Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc ADH+góc AEH=180 độ
=>ADHE nội tiếp
O là trung điểm của AH
b:
XetΔACB có
BD,CE là đường cao
BD căt CE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
=>K là trung điểm của CB
góc ODK=góc ODH+góc KDH
=góc BHK+góc KBH=90 độ
=>KD là tiếp tuyến của (O)
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>ADHE nội tiếp (O), O là trung điểm của AH
b: Xét tứ giác BEDC có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
=>BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>BEDC nội tiếp (F)
Gọi giao của AH với BC là M
Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH vuông góc BC tại M
\(\widehat{OEF}=\widehat{OEC}+\widehat{FEC}\)
\(=\widehat{AOE}+\widehat{ECB}\)
\(=\widehat{AOE}+\widehat{EAO}=90^0\)
=>FE là tiếp tuyến của (O)
c: ΔDAB vuông tại D có DM là trung tuyến
nên DM=MA=MB
ΔDHC vuông tại D có DI là trung tuyến
nên IH=ID=IC và ΔDHC nội tiếp đường tròn (I)
\(\widehat{MDI}=\widehat{MDB}+\widehat{IDB}\)
\(=\widehat{MBD}+\widehat{IHD}\)
\(=\widehat{MBD}+\widehat{EHB}=90^0\)
=>MD là tiếp tuyến của (I)
A B C D E K M I H F
a) Ta thấy ngay do BD, CE là đường cao nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\)
Xét tứ giác AEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) nên AEDC là tứ giác nội tiếp hay A, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.
Đường tròn cần tìm là đường tròn đường kính BC, tức là tâm đường tròn là trung điểm J của BC, bán kính là JB.
b) Xét tam giác BEC và tam giác BHM có :
\(\widehat{BEC}=\widehat{BHM}=90^o\)
Góc B chung
\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta BHM\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow BC.BH=BE.BM\)
Ta có \(BK^2=BD^2=BH.BC=BE.EM\) mà \(KE\perp BM\Rightarrow\widehat{BKM}=90^o\)
Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.
c)
Gọi F là giao điểm của CE với đường tròn tâm B.
Do \(BE\perp KF\)nên MB là trung trực của FK.
\(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{MKB}=90^o\Rightarrow\)tứ giác MFBH nội tiếp.
\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MBF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
Ta cũng có MKHB nội tiếp nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)
Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MBK}\) nên HI là phân giác góc KHF.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có : \(\frac{IK}{IF}=\frac{HK}{HF}\)
Ta có \(HC\perp HI\) nên HC là tia phân giác ngoài của góc KHF.
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF}=\frac{HK}{HF}\)
Vậy nên \(\frac{CK}{CF}=\frac{IK}{IF}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{CF+KF}=\frac{IK}{IF+IK}\Rightarrow\frac{CK}{\left(CE+EF\right)+\left(CE-KE\right)}=\frac{IK}{FK}\)
\(\Rightarrow\frac{CK}{2CE}=\frac{IK}{2EK}\Rightarrow CK.EK=CE.IK\)
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)
Do đó ADHE là tứ giác nội tiếp
Tự vẽ hình
a, Nối A với H , lấy O là trung điểm của AH
Xét \(\bigtriangleup{AEH}\) vuông tại E có :
OE là đường trung tuyến ( O là trung điểm AH )
=> OE = \(\dfrac{AH}{2}\) = OA = OH (1)
Xét \(\bigtriangleup{ADH}\) vuông tại D có :
OD là đường trung tuyến (O là trung điểm của AH )
=> OD = \(\dfrac{AH}{2} \) = OA = OH (2)
Từ (1) và (2) => OA = OE = OH = OD => 4 điểm A , E , H , D \(\in (O)\)
đường kính AH
Vậy tâm O của đường tròn đó là trung điểm của AH
b, Vì OA = OE ( cmt )
=> \(\bigtriangleup{AOE}\) cân tại O
=> \(\widehat{A_1} = \widehat{E_3}\) (1)
\(\bigtriangleup{BEC}\) vuông tại E có :
M là trung điểm của BC (gt)
=> EM = \(\dfrac{BC}{2}\) = MB = MC => \(\bigtriangleup{EMC}\) cân tại M
=> \(\widehat{E_2} = \widehat{C_1}\) (2)
Vì \(\bigtriangleup{ABC} \) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
=> H là trực tâm của \(\bigtriangleup{ABC} \)
=> \(AH \perp BC \) = {I}
\(\bigtriangleup{ABI}\) vuông tại I (cmt) => \(\widehat{A_1} +\widehat{ABI} =90^0\)
\(\bigtriangleup{BCE}\) vuông tại E (gt) => \(\widehat{C_1} +\widehat{ABI} = 90^0\)
=> \(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) => \(\widehat{E_2} = \widehat{E_3} \)
mà \(\widehat{E_3} +\widehat{E_1} = \widehat{AEC} = 90^0\)
=> \(\widehat{E_1} +\widehat{E_2 } =90^0\)
\(\widehat{OEM} =90^0 => OE \perp EM = \) {E}
E \(\in\) (O)
=> ME là tiếp tuyến của (O)