Question

[Nguyễn Thị Cẩm Hồng]

cho biểu thức: S=2+2^2+2^3+.....2^99

Chứng tỏ rằng: S chia hết cho 7

. S chia hết cho 31

Answer 1

[Bùi Thế Hào]

Tổng các số hạng của S là 99 số hạng.

a/ Nhóm 3 số hạng liên tiếp với nhau, ta được 33 nhóm như sau:

S=(2+2²+2³)+....+(2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹)=2(1+2+2²)+2⁴(1+2+2²)+...+2⁹⁷(1+2+2²)

=> S=2.7+2⁴.7+...+2⁹⁷.7=7(2+2⁴+2⁹⁷)

=> S chia hết cho 7

b/ 

Answer 2

[Bùi Thế Hào]

S=1-1+2+2²+2³+...+2⁹⁹=(1+2+2²+2³+...+2⁹⁹)-1

Tổng các số hạng trong ngoặc là 100 số hạng. Nhóm 5 số hạng liên tiếp với nhau ta được:

S=(1+2+2²+2³+2⁴)+2⁵(1+2+2²+2³+2⁴)+...+2⁹⁵(1+2+2²+2³+2⁴)-1

S=31.(1+2⁵+...+2⁹⁵)-1

=> S+1=31.(1+2⁵+...+2⁹⁵) => S+1 chia hết cho 31

=> S không chia hết cho 31