Câu hỏi của Nhật Hạ

Question

Cho biểu thức $P=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{399}{400}$. Chứng tỏ rằng $P< \frac{1}{20}$

Phạm Quang Vũ · Accepted Answer

Đặt $Q=\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$Áp dụng tính chất $\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(a,b,m\inℕ^∗\right)$ta có$\frac{1}{2}< \frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}< \frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}$...$\frac{399}{400}< \frac{399+1}{400+1}=\frac{400}{401}$$\Rightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{399}{400}< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$hay P < Q=> $P^2< P.Q$ $P^2< \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{399}{400}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$ $P^2< \frac{1.2.3.4.....400}{2.3.4.5.....401}$ $P^2< \frac{1}{401}< \frac{1}{400}< \left(\frac{1}{20}\right)^2$Vì P và 1/20 có cùng dấu$\Rightarrow P< \frac{1}{20}$Câu trả lời: Đặt $Q=\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$Áp dụng tính chất $\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\left(a,b,m\inℕ^∗\right)$ta có$\frac{1}{2}< \frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}< \frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}$...$\frac{399}{400}< \frac{399+1}{400+1}=\frac{400}{401}$$\Rightarrow\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{399}{400}< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$hay P < Q=> $P^2< P.Q$ $P^2< \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{399}{400}.\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{400}{401}$ $P^2< \frac{1.2.3.4.....400}{2.3.4.5.....401}$ $P^2< \frac{1}{401}< \frac{1}{400}< \left(\frac{1}{20}\right)^2$Vì P và 1/20 có cùng dấu$\Rightarrow P< \frac{1}{20}$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP