Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{d}=>\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}\)
áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\)
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=>\frac{a^2}{c^2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\left(dpcm\right)\)
Bài 1:
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=t\Rightarrow a=bt; c=dt\). Khi đó:
a)
\(\frac{a^2}{a^2+b^2}=\frac{(bt)^2}{(bt)^2+b^2}=\frac{b^2t^2}{b^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(1)\)
\(\frac{c^2}{c^2+d^2}=\frac{(dt)^2}{(dt)^2+d^2}=\frac{d^2t^2}{d^2(t^2+1)}=\frac{t^2}{t^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
\(\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\left(\frac{bt+dt}{b+d}\right)^2=\left(\frac{t(b+d)}{b+d}\right)^2=t^2(3)\)
\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(bt)^2+(dt)^2}{b^2+d^2}=\frac{t^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=t^2(4)\)
Từ $(3);(4)\Rightarrow \left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}$ (đpcm)
Bài 2:
Từ $a^2=bc\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=t\Rightarrow a=ct; b=at$. Khi đó:
a)
$\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{(ct)^2+c^2}{(at)^2+a^2}=\frac{c^2(t^2+1)}{a^2(t^2+1)}=\frac{c^2}{a^2}=(\frac{c}{a})^2=\frac{1}{t^2}(1)$
Và:
$\frac{c}{b}=\frac{a}{tb}=\frac{a}{t.at}=\frac{1}{t^2}(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
b)
$\left(\frac{c+2019a}{a+2019b}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{ct+2019at}\right)^2=\left(\frac{c+2019a}{t(c+2019a)}\right)^2=\frac{1}{t^2}(3)$
Từ $(2);(3)$ suy ra đpcm.
Cho a/b = b/c ( a,b,c khác 0) CM a mũ 2 + b mũ 2/ b mũ 2 + c mũ 2 = ( a+ 2018b) mũ 2/ (b+2018c) mũ 2
\(\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)
=> điều phải chứng minh
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Chứng minh: \(VP=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3=VP\)
Áp dụng vào bài
--------------------------------------------------
Ta có \(a+b+c=0\Leftrightarrow-c=a+b\)
\(\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2\)
Xét \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2+2ab\right)-3abc\)
\(=a^3+b^3+c.c^2-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc\)
\(=a^2\left(a+b\right)+2ab\left(a+b\right)+b^2\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^3\) ( do a+b+c=0 )
\(=\left(a+b\right)\left[a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)\right]+c^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3\)
( Áp dụng \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\) )
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]=0\) ( do a+b+c=0 )
Vậy \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=0\)
Ta có : \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\Leftrightarrow\frac{a}{c}.\frac{a}{c}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\Rightarrow\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\)
=> \(\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\left(\text{đpcm}\right)\)