Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Đề sai (ko nói đến chuyện nhầm lẫn ở hạng tử thứ 2 lẽ ra là bc), bạn cho \(a=b=c=d=0,1\) là thấy vế trái lớn hơn vế phải
b/ \(\frac{1}{2}xy.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^2}{4}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^6}{32}=\frac{64}{32}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
c/ Bình phương 2 vế:
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Ta có: \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2b^2\) ; \(\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2c^2\); \(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\ge2a^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow...\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{ab+ac+ad}+\frac{b^4}{ab+bc+bd}+\frac{c^4}{cd+ac+bc}+\frac{d^4}{ad+bd+cd}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Mà \(3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)( dễ dàng chứng minh nó bằng AM-GM)
nên \(VT\ge\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd;d^2+a^2\ge2ad\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+bc+cd+da=1\)
do đó \(VT\ge\frac{1}{3}\)
Dấu''='' xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)cd=ab\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2cd-b^2cd=abc^2+abd^2\)
\(\Leftrightarrow a^2cd-abc^2-abd^2+b^2cd=0\)
\(\Leftrightarrow ac\left(ad-bc\right)-bd\left(ad-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ac-bd\right)\left(ad-bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ac-bd=0\\ad-bc=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ac=bd\\ad=bc\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\end{matrix}\right.\) (ĐPCM)
Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)
Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)
Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)
Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố
Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)
Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1
Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)
nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)
Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)
Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)
Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)
Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)
Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên
Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn
suy ra điều giả sử sai
Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố