NB
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BM
0
24 tháng 3 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(A=\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\)
\(A=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(A=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge6\sqrt[6]{\frac{x}{2y}.\frac{z}{2y}.\frac{x}{2z}.\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{y}{2x}}=6.\frac{1}{2}=3\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
24 tháng 3 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
DT
15 tháng 2 2016
- a+b+c=0=>a=-b-c =>a.a=(-b-c)(-b-c) =>a.a=b.b+2bc+c.c =>a.a-b.b-c.c=2bc
- bình phương 2 vế ta dc
- a.a.a.a+b.b.b.b+c.c.c.c-2a.a.b.b-2a.a.c.c+2b.b.c.c=4a.a.b.b
- <=>a^4+b^4+c^4=2a^2+2b^2+2c^2
- <=>2( a^4+b^4+c^4)=a^4+b^4+c^4+2a^2+2b^2+2c^2
- <=>2( a^4+b^4+c^4)=( a^2+b^2+c^2)^2
vì a^2+b^2+c^2=2009 nên 2( a^4+b^4+c^4)=2009 <=>a^4+b^4+c^4=1004,5
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 8 2017
Lời giải:
Đặt \((ab,bc,ac)=(x,y,z)\)
Theo bài ra ta có:
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x^2+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0\)
TH1:
\(x+y+z=0\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)
\(\Rightarrow M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc}=\frac{-1}{abc}\)
TH2:
\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
Theo BĐT AM-GM ta luôn có \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(x=y=z\Leftrightarrow ab=bc=ac\Leftrightarrow a=b=c\)
Khi đó, \(M=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2a.2b.2c}=\frac{1}{8abc}\)