BM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
24 tháng 3 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)
\(A=\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\)
\(A=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(A=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge6\sqrt[6]{\frac{x}{2y}.\frac{z}{2y}.\frac{x}{2z}.\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{y}{2x}}=6.\frac{1}{2}=3\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
24 tháng 3 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
KT
8 tháng 8 2018
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
<=> \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
đến đây ez tự làm nốt nhé, ko ra ib mk
PN
10 tháng 2 2016
\(1.\) Đang duyệt
\(2a.\)
Ta có:
\(P-Q=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(P-Q=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+ac+a^2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(P-Q=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+\frac{\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{\left(c-a\right)\left(c^2+ac+a^2\right)}{c^2+ac+a^2}\)
\(\Leftrightarrow\) \(P-Q=a-b+b-c+c-a\) (do \(a,b,c\ne0\) )
\(\Leftrightarrow\) \(P-Q=0\)
Vậy, \(P=Q\) \(\left(đpcm\right)\)
PN
10 tháng 2 2016
\(1.\)
Theo đề bài, ta có:
\(a^3=b^2+b+\frac{1}{3}\) \(\left(1\right)\)
\(b^3=c^3+c^2+\frac{1}{3}\) \(\left(2\right)\)
\(c^3=a^3+a^2+\frac{1}{3}\) \(\left(3\right)\)
Vì \(b^2+b+\frac{1}{3}=\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\ge\frac{1}{12}>0\) nên từ \(\left(1\right)\) \(\Rightarrow\) \(a^3>0\) , tức là \(a>0\)
Tương tự, \(b,c>0\)
Do vai trò hoán vị của các ẩn \(a,b,c\) là như nhau nên có thể giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\) hay \(a\ge b\) \(;\) \(a\ge c\)
Do đó,
\(\text{+) }\) Từ \(\left(1\right)\) \(;\) \(\left(3\right)\) , ta có:
\(a^3=b^2+b+\frac{1}{3}\le a^2+a+\frac{1}{3}=c^3\)
Theo đó, \(a^3\le c^3\) hay \(a\le c\)
Mà \(a\ge c\) \(\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) \(a=c\) \(\left(\text{*}\right)\)
Lại có:
\(\text{+) }\) Từ \(\left(2\right)\) \(;\) \(\left(3\right)\) , ta có:
\(b^3=c^2+c+\frac{1}{3}=a^2+a+\frac{1}{3}=c^3\) (do \(a=c\) )
nên \(b^3=c^3\) , tức là \(b=c\) \(\left(\text{**}\right)\)
Vậy, từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) , suy ra \(a=b=c\)
22 tháng 10 2016
Câu 1:
- Chứng minh a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0
\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-3abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow0=0\) Đúng (Đpcm)
- Chứng minh a3+b3+c3=3abc thì a=b=c
Áp dụng Bđt Cô si 3 số ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Dấu = khi a=b=c (Đpcm)
22 tháng 10 2016
Câu 2
Từ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\cdot\frac{1}{abc}\)
Ta có:
\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{abc}{b^3}\)
\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)
\(=abc\cdot3\cdot\frac{1}{abc}=3\)
TT
29 tháng 2 2020
Ta xét hiệu :
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Do đó : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}=1006\)
Khi đó \(M=2\cdot1006=2012\)
KN
30 tháng 10 2019
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=\left(-c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\left(đpcm\right)\)