Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
Theo giả thiết ta có: các bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh
\(\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}\le1\)
\(\Rightarrow a\left(4-a\right)\left(4-b\right)+b\left(4-b\right)\left(4-c\right)\)\(+c\left(4-c\right)\left(4-a\right)\le\left(4-a\right)\left(4-b\right)\)\(\left(4-c\right)\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le4\)
Bất đẳng thức trên mang tính hoán vị giữa các bất đẳng thức nên không mất tính tổng quát ta giả swr c nằm giwuax a và b khi đó ta có:
\(a\left(a-c\right)\left(b-c\right)\le0\)
Thực hiện phép khai triển ta được: \(a^2b+c^2a\le a^2c+abc\)rồi cộng thêm \(\left(b^2c+abc\right)\)vào 2 vế ta được:
\(a^2b+b^2c+c^2a+abc\)\(\le a^2c+b^2c+2abc=c\left(a+b\right)^2\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức AM-GM ta có:
\(c\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}2c\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)\(\le\frac{\left(2c+a+b+a+b\right)^3}{2.27}=4\)nên Bất Đẳng Thức đã được chứng minh
Vậy \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)( đpcm )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+bc\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a\left(ab+ac+bc\right)-abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a\left(ab+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc\right)+a^2\left(c+b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)=0\)
=> a=-b hoặc b=-c hoặc c = -a
Không mất tình tổng quát, giả sử a=-b -> a^n = -b^n ( n lẻ):
\(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^b+c^n}\)
\(\sum\frac{1}{1+a^3+b^3}\le\sum\frac{1}{1+ab\left(a+b\right)}=\sum\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)
Sửa lại đề nha: abc = 1
\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)\(+\left(c+a+1\right)\left(a+b+1\right)\)
\(\le\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)+a+b+b+c+1\)\(+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b+c+c+a+1\)
\(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+c+a+a+b+1\)
\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) \(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+a+b+b+c+c+a+1\)
\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\Leftrightarrow3\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\ge3.\sqrt[3]{a.b.c}.\left[3.\sqrt[3]{ab.bc.ca}-2\right]=3\)
\(\Rightarrow\)đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)