Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(ab+bc+ac\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\\ \Leftrightarrow2\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=0\\ \Leftrightarrow abc\left(a+b+c\right)=0\left(đpcm;a+b+c=0\right)\)
Câu a/ Thì chứng minh ở dưới rồi nhé e
b/ Ta cần chứng minh
\(2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\)
\(\Leftrightarrow2abc\left(a+b+c\right)=0\)(đúng)
=> ĐPCM
c/ Ta có
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2}=a^4+b^4+c^4\)
Cái này là áp dụng câu a vô nhé e
Ta có:
a)
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2ab-2ac-2bc\right]^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=4\left[ab+ac+bc\right]^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=4\left(ab\right)^2+4\left(ac\right)^2+4\left(bc\right)^2-8abc\left(a+b+c\right)-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)
\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
b)\(=2\left(ab+bc+ac\right)^2-4\left(abbc+abca+bcca\right)\)
\(=2\left(ab+bc+ac\right)^2-4abc\left(a+b+c\right)=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)
c) \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}{2}=\frac{a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4}{2}\)
\(=a^4+b^4+c^4\)
1a) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab +b2 ) + ( a2 + 2ac + c2 ) + ( b2 + 2bc + c2 )
= ( a + b )2 + ( a + c )2 + ( b + c )2
1b) 2.( ac - ab - bc + b2 ) + 2.( bc - ba - ac + a2 ) + 2.( ba - bc - ca + c2 )
= 2ac - 2ab - 2bc + 2b2 + 2bc - 2ab - 2ac +2a2 + 2ab - 2bc - 2ac + 2c2
= 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
= ( a2 - 2ab + b2 ) + (a2 - 2ac + c2 ) + (b2 - 2bc + c2 )
= (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2
a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 => a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca) (1)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 (2) => a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)).
=> a4 + b4 + c4 = 2a4b2 + 2b2c2 + 2c2a2 + 8abc(a + b + c)
a) => a4 + b4 + c4 = 2(a4b2 + b2c2 + c2a2) (ĐPCM - a)
b) Từ (1) => 2(ab + bc + ca) = -(a2 + b2 + c2 )
=> 4(ab + bc + ca)2 = (a2 + b2 + c2 )2 = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2.
Thay từ (a) 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 = a4 + b4 + c4
=> 4(ab + bc + ca)2 = 2(a4 + b4 + c4)
Hay a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 (ĐPCM - b)
c) Từ (2) (a2 + b2 + c2)2 = 4(ab + bc + ca)2 = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(ab2c + abc2 + a2bc)) = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2)+ 8abc(a + b + c)
=> (a2 + b2 + c2)2 = 4(a4b2 + b2c2 + c2a2) = 2(a4 + b4 + c4) (Từ a)
Hay a4 + b4 + c4 = 1/2 * (a2 + b2 + c2)2 (ĐPCM - c).
a) Ta có: \(a^2-1\le0;b^2-1\le0;c^2-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\le0\)
\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) ( vì \(abc\ge0\) )
Có \(b-1\le0\Rightarrow a^2b\sqrt{b}\left(b-1\right)\le0\Rightarrow a^2b^2\le a^2b\sqrt{b}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}b^2c^2\le b^2c\sqrt{c}\\c^2a^2\le c^2a\sqrt{a}\end{cases}\Rightarrow dpcm}\)
\(1,VT=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Ta có \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(VT\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Bây giờ ta cm:
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng
Vậy bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
B1:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Xét hiệu:
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
*
Ta có:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
\(b< a+c\Rightarrow b^2< ab+ac\)
\(c< a+b\Rightarrow a^2< ac+bc\)
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy: \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
B2:
Ta có: \(a+b>c\) ; \(b+c>a\); \(a+c>b\)
Xét:\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c+b}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{b+c+b+c}=\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}\)
Suy ra:
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
=> ĐPCM
tự làm đi , đồ ăn sẵn
a)\(VP=\left(ab+bc+ca\right)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\)=a2b2+b2c2+c2a2+2abc.0=a2b2+b2c2+c2a2=VP
Vậy ta có đpcm