Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=1-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2\left(ab+bc+ca\right)\)
Lại có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow abc\le\frac{ab+bc+ca}{9}\)
Khi đó:
\(M\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=21+9=30\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)abc=\frac{3}{4}8\Rightarrow\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}+\frac{abc}{c^2}=\frac{3.8}{4}\Leftrightarrow\)\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}=6\)
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.3=9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Phân tích và áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}=\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{3a}{1+b^2}=\left(1-\dfrac{b^2}{1+b^2}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{2b}\right)=\left(1-\dfrac{b}{2}\right)+\left(3a-\dfrac{3}{2}ab\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1+3b}{1+c^2}\ge\left(1-\dfrac{c}{2}\right)+\left(3b-\dfrac{3}{2}bc\right)\)
\(\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge\left(1-\dfrac{a}{2}\right)+\left(3c-\dfrac{3}{2}ca\right)\)
Cộng các vế của các BĐT ta được:
\(P\ge3-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)=3+\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}.3\ge3+\dfrac{5}{2}.3-\dfrac{9}{2}=6\)
\(P=6\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=6\)