Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
\(\sqrt{\frac{a}{c+b}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(c+b\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(ĐPCM)
Asp dụng bđt AM-GM ta có
\(\frac{\left(\frac{b+c}{a}+1\right)}{2}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2a}\ge\sqrt{\frac{b+c}{a}}\) hay \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự
\(\sqrt{\frac{b}{b+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2)
\(\sqrt{\frac{c}{c+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)(3)
Từ (1),(2),(3) ta có
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{a}{a+b}}=1\\\sqrt{\frac{b}{b+c}}=1\\\sqrt{\frac{c}{c+a}}=1\end{cases}}\)(vô lí )
Vậy dấu "=" không xảy ra
do đó \(VT>2\)
ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ bạn viết sai rồi kia. xem đề coi có sai ko đã
Ta có: \(VT=a^2+b^2+\frac{ab+1}{a^2}=a^2+\frac{a^2b^2+ab+1}{a^2}\ge a^2+\frac{\frac{3}{4}}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^4=\frac{3}{4}\\ab=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)