Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N Q P O R S T A B C H M D I A B C D K G M K E P F (Hình a) (Hình b) (Hình c) Q I
Bài toán 1: (Hình a)
Gọi đường thẳng qua N vuông góc với AN cắt AC tại R, qua P kẻ đường thẳng song song với BC. Đường thẳng này cắt AM,AN,BC lần lượt tại S,T,K.
Ta thấy \(\Delta\)APR có AN vừa là đường cao, đường phân giác => \(\Delta\)APR cân tại A => AP = AR, NP = NR
Áp dụng hệ quả ĐL Thales \(\frac{BM}{PS}=\frac{CM}{KS}\left(=\frac{AM}{AS}\right)\)=> PS = KS
Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác: \(\frac{TK}{TP}=\frac{AK}{AP}\Rightarrow\frac{ST+SK}{TP}=\frac{AK}{AR}\)
\(\Rightarrow\frac{2ST+PT}{TP}=\frac{AR+RK}{AR}\Rightarrow\frac{2ST}{TP}=\frac{RK}{AR}\)
Dễ thấy NS là đường trung bình của \(\Delta\)RKP => RK = 2NS. Do đó \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}\)
Đồng thời NS // AR, suy ra \(\frac{ST}{TP}=\frac{NS}{AR}=\frac{SQ}{QA}\)=> QT // AP (ĐL Thaels đảo)
Mà AP vuông góc PO nên QT vuông góc PO. Từ đây suy ra T là trực tâm của \(\Delta\)POQ
=> QO vuông góc PT. Lại có PT // BC nên QO vuông góc BC (đpcm).
Bài toán 2: (Hình b)
Ta có IB = IC => \(\Delta\)BIC cân tại I => ^IBC = ^ICB = ^ACB/2 => \(\Delta\)MCI ~ \(\Delta\)MBC (g.g)
=> MC2 = MI.MB. Xét \(\Delta\)AHC có ^AHC = 900 , trung tuyến HM => HM = MC
Do đó MH2 = MI.MB => \(\Delta\)MIH ~ \(\Delta\)MHB (c.g.c) => ^MHI = ^MBH = ^MBC = ^MCI
=> Tứ giác CHIM nội tiếp. Mà CI là phân giác ^MCH nên (IH = (IM hay IM = IH (đpcm).
Bài toán 3: (Hình c)
a) Gọi đường thẳng qua C vuông góc CB cắt MK tại F, DE cắt BC tại Q, CG cắt BD tại I.
Áp dụng ĐL Melelaus:\(\frac{MB}{MC}.\frac{GA}{GB}.\frac{DC}{DA}=1\)suy ra \(\frac{DC}{DA}=2\)=> A là trung điểm DC
Khi đó G là trọng tâm của \(\Delta\)BCD. Do CG cắt BD tại I nên I là trung điểm BD
Dễ thấy \(\Delta\)BCD vuông cân tại B => BI = CM (=BC/2). Từ đó \(\Delta\)IBC = \(\Delta\)MCF (g.c.g)
=> CB = CF => \(\Delta\)BCF vuông cân ở C => ^CBA = ^CBF (=450) => B,A,F thẳng hàng
=> CA vuông góc GF. Từ đó K là trực tâm của \(\Delta\)CGF => GK vuông góc CF => GK // CM
Theo bổ đề hình thang thì P,Q lần lượt là trung điểm GK,CM. Kết hợp \(\Delta\)CEM vuông ở E
=> EQ=CM/2. Áp dụng ĐL Melelaus có \(\frac{GD}{GM}.\frac{EQ}{ED}.\frac{CM}{CQ}=1\)=> \(\frac{EQ}{ED}=\frac{1}{4}\)
=> \(\frac{ED}{CM}=2\)=> DE = 2CM = BC (đpcm).
b) Theo câu a thì EQ là trung tuyến của \(\Delta\)CEM vuông tại E => EQ = QC => ^QEC = ^QCE
Vì vậy ^PEG = ^QEC = ^QCE = ^PGE => \(\Delta\)EPG cân tại P => PG = PE (đpcm).
a, xét △ AMB và △ AMC có:
AB=AC(gt)
góc BAM=góc CAM (gt)
AM chung
=> △ AMB= △ AMC(c.g.c)
b,xét △ AHM và △ AKM có:
AM cạnh chung
góc HAM=ˆgóc KAM (gt)
=>△ AHM= △ AKM(CH-GN)
=> AH=AK
c,gọi I là giao điểm của AM và HK
xét △ AIH và △ AIK có:
AH=AK(theo câu b)
góc AIH=ˆgóc AIK (gt)
AI chung
=> △ AIH=△ AIK (c.g.c)
=> góc AIH=ˆgóc AIK
mà góc AIH+góc AIK=180độ(2 góc kề bù)
=> HK ⊥ AM
A C H M N O 1 2 B D
Giải:
Xét tam giác vuông AHM và ANM có:
\(\Delta AHM\perpởH;\Delta ANM\perpởN\)
cạnh huyền AM chung
góc nhọn \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)
=> tam giác AHM = tam giác ANM ( cạnh huyền-góc nhọn)
=> AH=AN
=> Tam giác AHN cân tại A (1)
Tam giác ABH có \(\widehat{AHB}=90^o\): \(\widehat{B}+\widehat{BAH}+\widehat{AHB}=180^o\), mà \(\widehat{B}=60^o;\widehat{AHB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=30^o\)
Mà: \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{HAN}=\widehat{BAC}-\widehat{BAH}=90^o-30^o=60^o\)(2)
Từ (1) và (2) => tam giác AHN đều
b, Gọi O là giao điểm của AM và HN
Xét tam giác AHO và ANO có:
AH=AN
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)
AO chung
=> tam giác AHO = tam giác ANO (c.g.c)
=> HO=NO
=> O là trung điểm HN (1)
Ta có: tam giác AHO = tam giác ANO (chứng minh trên)
=>\(\widehat{AOH}=\widehat{AON}\), mà \(\widehat{AOH}+\widehat{AON}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AOH}=\widehat{AON}=90^ohayAO\perp HN\) (2)
Từ (1) và (2) => AO là đường trung trực của HN
=> AM là đường trung trực của HN
c, chưa ra
H B A C N M D 1 2
CM: a) Xét t/giác AHM và t/giác ANM
có : \(\widehat{AHM}=\widehat{ANM}=90^0\) (gt)
AM : chung
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (gt)
=> t/giác AHM = t/giác ANM (ch - gn)
=> AH = AN (2 cạnh t/ứng)
=> t/giác AHN cân tại A (1)
Xét t/giác ABC có \(\widehat{A}\) = 900 => \(\widehat{ABC}+\widehat{C}\)= 900
Xét t/giác AHC có \(\widehat{AHC}=90^0\) => \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)
=> \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\)
Mà \(\widehat{ABC}=60^0\) => \(\widehat{HAC}=60^0\) (hay \(\widehat{HAN}=60^0\)) (2)
Từ (1) và (2) => t/giác AHN là t/giác đều
b) Ta có: t/giác AHM = t/giác ANM (cmt)
=> HM = MN (2 cạnh t/ứng)
=> M \(\in\)đường trung trực của HN
Ta lại có: AH = AN (cmt)
=> A \(\in\)đường trung trực của HN
mà A \(\ne\) M => AM là đường trung trực của HN
c) Do \(\widehat{DHA}\)là góc ngoài của t/giác AHN
=> \(\widehat{DHA}=\widehat{HAN}+\widehat{ANH}=2.60^0=120^0\) (t/giác AHN là t/giác đều => góc HAN = góc AHN = góc HNA = 600)
Ta có: \(\widehat{DAH}+\widehat{HAC}=90^0\) => \(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{HAC}=90^0-60^0=30^0\) (3)
Xét t/giác AHD có : \(\widehat{ADH}+\widehat{AHD}+\widehat{DAH}=180^0\) (tổng 3 góc của 1 t/giác)
=> \(\widehat{HDA}=180^0-\widehat{DHA}-\widehat{DAH}=180^0-120^0-30^0=30\)(4)
Từ (3) và (4) => \(\widehat{HDA}=\widehat{DAH}=30^0\) => t/giác AHD cân tại H => DH = AH
mà AH = HN (vì t/giác AHN là t/giác đều)
=> DH = HN => AH là trung tuyến của t/giác AND