K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
17 tháng 12 2023
Ta có \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^3c^3}\left(b+c\right)}=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\)
Tương tự \(\Rightarrow VT=\dfrac{b^2c^2}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{c^2a^2}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{a^2b^2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\)
\(\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)}\) (BĐT B.C.S)
\(=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\right)}\)
\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) (do \(abc=1\))
\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\))
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
LH
1
18 tháng 11 2019
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge1\)
để ý \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) nha mọi người:)
NL
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Với các số dương x;y ta có:
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng:
\(\Rightarrow P=\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}+\dfrac{1}{b^3+c^3+abc}+\dfrac{1}{c^3+a^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\dfrac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\dfrac{a}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c=1\)
N
0
9 tháng 8 2016
1) Từ \(-2\le a,b,c\le3\) suy ra :
\(\left(a+2\right)\left(a-3\right)\le0\Leftrightarrow a^2-a-6\le0\Leftrightarrow a^2\le a+6\)
\(\left(b+2\right)\left(b-3\right)\le0\Leftrightarrow b^2-b-6\le0\Leftrightarrow b^2\le b+6\)
\(\left(c+2\right)\left(c-3\right)\le0\Leftrightarrow c^2-c-6\le0\Leftrightarrow c^2\le c+6\)
Cộng các bđt trên theo vế ta có đpcm
2) \(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{xyz}\)
Từ giả thiết : \(x+1=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=2\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\)
Tương tự : \(y+1\ge2\sqrt{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\) , \(z+1\ge2\sqrt{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}{xyz}\ge\frac{8\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{8.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{64xyz}{xyz}=64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x+y=y+z=z+x\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy Min P = 64 tại x = y = z = 1/3