Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(0< a\le c\)\(\Rightarrow a^2\le c^2\)
\(a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\)
\(\Rightarrow b^2>4a^2\)
\(\Rightarrow b>2a\) (1)
\(c^2\ge a^2\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow c^2+b^2>5c^2\)\(\Rightarrow b^2>4c^2\Rightarrow b>2c\) (2)
Cộng (1) và (2) ta được:
\(2b>2a+2c\Rightarrow b>a+c\) ( vô lý )
\(\Rightarrow c< a\)
Chứng minh tương tự : \(c< b\)
Do \(\hept{\begin{cases}c< a\\c< b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AB< BC\\AB< AC\end{cases}}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{C}< \widehat{A}\\\widehat{C}< \widehat{B}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}\)
\(\Rightarrow3\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{C}< 60^o\) (đpcm)
bằng nhau trong trường hợp tam giác đều bạn tự làm nha còn bé hơn thì trước tiên viết 3 bất đẳng thức của tam giác sau đó cho 1 giả sử để chứng minh hoặc là biến đổi bất đẳng thức của tam giác giờ mình lười làm lắm hướng dẫn như vậy thôi
Ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).
\(\left(b+c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).
\(\left(c+a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)
\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).
=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:
\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).
Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)
Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm
Ta có (a+b)2 >=0 => a2 + 2ab + b2 >= 0 => a2 + b2 >= 2ab. (1)
(b+c)2 >=0 => b2 + 2bc + c2 >= 0 => b2 + c2 >= 2bc. (2)
(c+a)2 >=0 => c2 + 2ca + a2 >= 0 => c2 + a2 >= 2ca. (3)
Cộng (1), (2), (3), theo vế ta có 2(a2 + b2 + c2)>=2(ab+bc+ca)
suy ra a2 + b2 + c2>=ab+bc+ca (*)
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:
a+b>c => ac+bc>c2. (4)
b+c>a => ab+ac>a2. (5)
c+a>b => bc+ab>b2. (6)
Cộng (4), (5), (6) theo vế ta có 2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2(**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm.