Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Chứng minh BĐT Phụ: \(a^5+b^5\ge a^4b+ab^4\)với \(a;b>0\)
\(\Rightarrow\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{a^4b+ab^4}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab\left(a+b\right)}=a^2-ab+b^2\)
Áp dụng ta có: \(VT\)(VẾ TRÁI)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\) \(\left(1\right)\)
Xét: \(\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\right]-\left[3\left(ab+bc+ca\right)-2\right]\)
\(=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\) (Do a2+b2+c2=1) \(\left(2\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) Tự chứng minh \(\left(3\right)\)
Từ (1);(2) và (3) suy ra \(VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Vậy \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\a+c=y\\b+c=z\end{cases}}\)
Do a+b+c = 1 \(\Leftrightarrow x+y+z=2\)
Ta có :
\(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}=\text{Sima}\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}\)
\(=\text{Sima}\frac{xy}{z}=\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\)
Ta có : \(2\text{Sima}\frac{xy}{z}=\left(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\right)+\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\right)+\left(\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\right)\)
\(\ge2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow\text{Sima}\frac{xy}{z}\ge x+y+z=2\) hay \(\text{Sima}\frac{a+bc}{b+c}\ge2\)(đpcm)