Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức: \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfra...

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfra...">

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

Q

quangduy

17 tháng 5 2018

Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

LT

Lê Thiên Anh

17 tháng 5 2018

https://i.imgur.com/8TIBI9D.jpg

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

KK

Kaito Kid

12 tháng 9 2017

Cho các số dương a,b,c .Chứng minh rằng bất đẳng thức

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+d}}+\sqrt{\dfrac{c}{d+a}}+\sqrt{\dfrac{d}{a+b}}\)\(\ge2\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

UK

Unruly Kid

12 tháng 9 2017

BĐT Nesbitt cho 4 biến, bạn tham khảo google nhiều lắm :3

KK

Kaito Kid

12 tháng 9 2017

Mk viết nhầm tất cả bỏ căn nhá

HD

Hồng Đen Hoa

5 tháng 8 2017

Cho các số dương a,b,c. Cm đẳng thức \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

HN

Hung nguyen

5 tháng 8 2017

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\\\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dễ thấy dấu = không thể xảy ra nên

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

NK

Nguyễn Kim Hoàng Anh

25 tháng 7 2018

ba số dương a,b,c thỏa mãn \(b\ne c,\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}\) và\(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\).chứng minh đẳng thức

\(\dfrac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

7 tháng 1 2019

Lời giải:

Đặt \((\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})=(x,y,z)\). Bài toán trở thành
Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn \(y^2\neq z^2; x+y\neq z; x^2+y^2=(x+y-z)^2\)

CMR: \(\frac{x^2+(x-z)^2}{y^2+(y-z)^2}=\frac{x-z}{y-z}\)

--------------------------------------------------

Ta có:

\(x^2+y^2=(x+y-z)^2=[y+(x-z)]^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=y^2+(x-z)^2+2y(x-z)\)

\(\Leftrightarrow x^2=(x-z)^2+2y(x-z)\)

\(\Leftrightarrow x^2+(x-z)^2=2(x-z)^2+2y(x-z)=2(x-z)(x-z+y)\)

Tương tự:

\(y^2+(y-z)^2=2(y-z)^2+2x(y-z)=2(y-z)(y-z+x)\)

Do đó: \(\frac{x^2+(x-z)^2}{y^2+(y-z)^2}=\frac{2(x-z)(x-z+y)}{2(y-z)(y-z+x)}=\frac{x-z}{y-z}\)

Ta có đpcm.

ND

Nguyễn Dương Huyền Nhi

22 tháng 9 2018

chứng minh các bát đẳng thức sau

a)Cho a>0 chứng minh rằng \(a+\dfrac{1}{a}\)≥2

b)\(\dfrac{a^2+a+2}{\sqrt{a^2+a+1}}\)≥2

c)\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}< \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

5 tháng 9 2022

a: \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}}=2\)

b: \(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\)

=>\(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\)(1)

\(\sqrt{a^2+a+1}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}>=2\sqrt{\sqrt{a^2+a+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}}=2\)

nên (1) đúng

HT

Hạnh Tâm Nguyễn

24 tháng 7 2018

Bài 5: Cho a,b>0. Chứng minh \(\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}\ge a\) Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\) Đây là bất đẳng thức nesibit cho 3 số thực dương. mình có xem qua trên mạng rồi nhưng không hiểu cho lắm. Mong các bạn giúp đỡ, cảm ơn các bạn nhiều!!! 사랑해요. ...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

ND

Nhã Doanh

25 tháng 7 2018

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) ( x,y,z > 0) ( Link: Câu hỏi của ZoZ - Kudo vs Conan - ZoZ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến)

Với: \(x=b+c,y=a+c,z=a+b\) ta được:

\(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge4,5\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\ge4,5\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{a+c}+1+\dfrac{c}{a+b}+1\ge4,5\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

TN

Trương Nguyệt Băng Băng

16 tháng 5 2017

Chứng minh bất đẳng thức:

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với a,b,c > 0

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

N

Neet

16 tháng 5 2017

\(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+2c}-2\)(*)

Lại có: theo AM-GM:\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}.1}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{a+b+2c}{2c}=\dfrac{a+b+2c}{4c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{4c}{a+b+2c}\)(**)

từ (*) và (**),ta có:

\(VT\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)+4c}{a+b+2c}-2=\dfrac{4\left(a+b+2c\right)}{a+b+2c}-2=2\)(ĐpcM)

Dấu = xảy ra khi a=b=c>0

MH

michelle holder

17 tháng 5 2017

wow thánh AM-GM cho e xin brain+chữ kí :v

NN

Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

7 tháng 10 2018

chứng minh các đẳng thức sau: a) \(\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}\) + \(\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\) = 4 b) \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) - \(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) - \(\dfrac{2b}{a-b}\) = 1 với ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b; c) \(\left(1+\dfrac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\)\(\left(1-\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\) = 1 - a với a > 0, a ≠...

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

DD

Duy Đỗ Ngọc Tuấn

7 tháng 10 2018

b) \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{a-b}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-2b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\dfrac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\)

\(=\dfrac{a}{a-b}\)

DD

Duy Đỗ Ngọc Tuấn

7 tháng 10 2018

khúc \(\dfrac{a}{a-b}\) sai nhé

\(=\dfrac{a-b}{a-b}=1\)

TN

Thai Nguyen

25 tháng 7 2018

Chứng minh bất đẳng thức cô-si với 3 số a,b,c không âm: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c.

Áp dụng chứng minh bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

DP

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG

14 tháng 8 2018

Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :

Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Nhân vế theo vế ta được :

\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

HM

Hàn Mạc Tử

5 tháng 9 2018

1 chứng minh các đẳng thức sau

a, \(\dfrac{a+b}{b^2}\sqrt{\dfrac{a^2b^4}{a^22ab+b^2}}=\left|a\right|\)

b, \(\dfrac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\dfrac{a}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=a-b\)

c,\(\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right):\dfrac{\sqrt{xy}}{x-y}=4\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

3

TT

Trịnh Thị Thúy Vân

19 tháng 9 2018

a) Sai đề.

\(\dfrac{a+b}{b^2}\sqrt[]{\dfrac{a^2b^4}{a^2+2ab+b^2}}=\dfrac{a+b}{b^2}.\dfrac{b^2\left|a\right|}{\left|a+b\right|}=\left|a\right|\)

TT

Trịnh Thị Thúy Vân

19 tháng 9 2018

b) Sai đề.

\(\dfrac{a\sqrt[]{b}+b\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{ab}}:\dfrac{1}{\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}}=\dfrac{\sqrt[]{ab}\left(\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}\right)}{\sqrt[]{ab}}.\left(\sqrt[]{a}-\sqrt[]{b}\right)=a-b\)