Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
SCó :\(A=\) \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\)=\(\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\) ( chia tử mẫu cho \(a^3\) ) =\(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\)
Lại có\(\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}\) =\(\sqrt{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left[1-\frac{b+c}{a}+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2\right]}\)( hằng đẳng thức )
\(\le\)\(\frac{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}{2}\)( áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\))
Nên \(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}\)\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\)( vì \(\left(b+c\right)^2\le2b^2+2c^2\)) . TỪ ĐÓ SUY RA :
\(A=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cmtt có : \(B=\sqrt[]{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(C=\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
VẬY \(A+B+C\ge1\)
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{b.\frac{a^2-ab+b^2}{b}}=\sqrt{b.\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)}\le\frac{\frac{a^2}{b}-a+2b}{2}\)
tương tự mấy cái trên
\(\sqrt{\frac{a}{c+b}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(c+b\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\)
tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(ĐPCM)
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)(1)
Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)(2) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\) (3)
Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Leftrightarrow}a+b+c=0\) (vô lí vì trái với giả thiết bài ra )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Minh cũng đang bí bàu này