Question

[Hàn Vũ]

cho a,b,c là 3 số thực sao cho (a-b)(b-c)(c-a) khác 0. Tìm GTNN của biếu thức

\(P=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(a-c\right)^2}\right)\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac=\frac{6(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)}{6}=\frac{4(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}$

$\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}$

$\Rightarrow P\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{6}.\left[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right]$

Đặt $a-b=m, b-c=n$ thì $a-c=m+n$

Khi đó:

$6P\geq [m^2+n^2+(m+n)^2]\left[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$[m^2+n^2+(m+n)^2]\left[\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$\geq [\frac{(m+n)^2}{2}+(m+n)^2]\left[\frac{1}{2}(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})^2+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$\geq \frac{3}{2}.(m+n)^2\left[\frac{8}{(m+n)^2}+\frac{1}{(m+n)^2}\right]$

$=\frac{3}{2}(m+n)^2.\frac{9}{(m+n)^2}=\frac{27}{2}$

$\Rightarrow 6P\geq \frac{27}{2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{9}{4}$

Vậy GTNN của $P$ là $\frac{9}{4}$.

Answer 2

[Hàn Vũ]

chuẩn rồi bạn bài này mình lấy ra từ đề thi tỉnh học sinh giỏi mà