MH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 6 2017
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
12 tháng 5 2017
Do 1/b+1/c=3/4-1/a suy ra \(\sum\) (1a/)=3/4
Ta có \(\dfrac{\sqrt{b^2+bc+c^2}}{a^2}\)= \(\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-bc}}{a^2}\ge\dfrac{\sqrt{\left(b+c\right)^2-\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}}}{a^2}=\dfrac{\sqrt{3}\left(b+c\right)}{2a^2}\)
Tương tự ta được:
P\(\ge\) \(\sqrt{3}\) \(\left(\sum\dfrac{b+c}{a^2}\right)\) \(\ge\) \(\sqrt{3}\) (1/a+1/b+1/c) \(\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c=4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)
\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
2 tháng 1 2022
Ta có \(a^2+\dfrac{1}{b+c}=a^2+\dfrac{1}{6-a}\)
Mà \(a+b+c=6\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{6-a}\ge2^2+\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{6-a}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
N
3
10 tháng 9 2017
#Đêm qua tự nhiên mơ thấy cách này, dậy làm luôn :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(x^2+y^2+1\right)\left(1+1+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+y^2+1}\le\dfrac{2+z^2}{\left(x+y+z\right)^2}.\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{y^2+z^2+1}\le\dfrac{2+x^2}{\left(x+y+z\right)^2};\dfrac{1}{x^2+z^2+1}\le\dfrac{2+y^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\dfrac{x^2+y^2+z^2+6}{\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)}{\left(x+y+z\right)}=1\)
Khi \(x=y=z=1\)
Y
3 tháng 12 2017
☘ Ta có:
\(P=\dfrac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(=\dfrac{a}{\sqrt{ab+ac+ca+a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{ab+ac+ca+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab+ac+ca+c^2}}\)
\(=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
☘ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}\times\dfrac{1}{\sqrt{a+c}}\le\dfrac{\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{a}{2\left(a+c\right)}\)
☘ Tương tự, ta cũng có:
\(\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{b}{2\left(b+c\right)}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{c}{2\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{a+b}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{a+c}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{b+c}{2\left(b+c\right)}=\dfrac{3}{2}\)
☘ Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
⚠ Source: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/237527.html
UK
4 tháng 12 2017
\(\sum\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\sum\dfrac{ab}{\sqrt{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sum\dfrac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ab}{a+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\)
GTNN của P là \(\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Bữa trước ko để ý a,b,c ko âm với ngược dấu sai thê thảm =))
Dự đoán \(a=b=1\) và \(c=0\) thì tính được \(2+\frac{1}{\sqrt2}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN.Thật vậy cần chứng minh
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{b^2+c^2}}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+c^2}}\ge2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Khôn mất tính tổng quá giả sử \(c=\min\{a,b,c\}\). Khi đó:
\(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2+b^2}-\dfrac{(a+c)(b+c)}{(a+c)^2+(b+c)^2}=\dfrac{c(a+b+2c)(2ab+ac+bc)}{a^2+b^2)((a+c)^2+(b+c)^2}\ge0\)
Tương tự cũng có:
\(\dfrac{ab+ac+bc}{a^2+c^2}-\dfrac{b+c}{a+c}=\dfrac{c(2ab+ac-c^2)}{(a+c)(a^2+c^2)}\ge0\)
Và \(\dfrac{ab+ac+bc}{b^2+c^2}-\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{c(2ab+bc-c^2)}{(b+c)(b^2+c^2)}\ge0\)
Đặt \(\dfrac{a+c}{b+c}=x^2;\dfrac{b+c}{a+c}=y^2\left(x,y>0\right)\)\(\Rightarrow xy=1\) và ta có:
\(x+y+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(\Leftrightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\ge\dfrac{(x-y)^2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2})}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2(x^2+y^2)}(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2})\ge(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{(1^2+1^2)(x^2+y^2)}\ge x+y\)
\(=\dfrac{1}{2}(1^2+1^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2)\ge\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\)
Vậy cần chứng minh \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\ge2\)
Đúng theo AM-GM:\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\ge\sqrt{2xy}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}>2\)
Cho e góp ý tí nhá:
Từ bước
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\left(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\left(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2}\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\)
Thì bác chia 2 vế cho \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)đúng không. Nhưng mà ngoặc nỗi \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)nó lại là 0 vì thế nên không thể chia cho nó được.