Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy dạng phân thức :
\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{9}{ab+bc+ac}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{7}{ab+bc+ac}\ge21\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)}=9\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge21+9=30\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Chúc bạn học tốt !!!
Áp dụng Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
\(\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\right)+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=30\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1/3
Lời giải:
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$
$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Do đó:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)
\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)
Cộng 2 BĐT trên lại:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Lời giải:
Áp dụng hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2$
$1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$
Do đó:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\)
\(\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{12}{(a+b+c)^2}=12\)
\(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac}=\frac{2}{3}.\frac{a+b+c}{abc}=\frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{3.\frac{1}{27}}=18\)
Cộng 2 BĐT trên lại:
\(\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 12+18=30\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
#)Trả lời :
Bạn tham khảo nha : Câu hỏi của Nguyễn Trương Hoài Nam - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Link : https://olm.vn/hoi-dap/detail/66344373938.html
Bạn vô câu hỏi tương tự ý cho nhanh, ngay đầu bảng luôn ^^
#~Will~be~Pens~#
Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm