Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(b\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{a}{c}\left(\text{ c dương}\right)\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{c}{a}\) (1)
\(c\ge b\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}\left(a\text{ }dương\right)\) (2)
\(c\ge a\left(gt\right)\) \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}\ge\frac{a}{b}\left(b\text{ }\text{ dương}\right)\Leftrightarrow\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) ta có : \(\frac{c}{a}+\frac{b}{c}\ge\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)
1, Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng từng vế vào ta được
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Dấu "=" khi a = b = c
2,Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên a,b,c > 0
Ta có các bđt quen thuộc sau : \(\frac{m}{n}>\frac{m}{m+n}\)và \(\frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\)
\(\Rightarrow\frac{m}{m+n}< \frac{m}{n}< \frac{m+m}{m+n}\). Áp dụng bđt này ta được
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{a+b+c}< \frac{b+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}\)
Cộng 3 bđt trên lại ta được đpcm
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => đpcm
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a+b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>1\)
Ta luôn có phân số \(\frac{m}{n}< \frac{m+z}{n+z}\)với \(m>n>0;z>0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+b+c+a+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Ta có:
\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{4}\) (1)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\\\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\end{cases}}\)
Cộng 3 cái trên vế theo vế ta được
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
xin lỗi chị em mới học lớp 5 nên ko biết
Chúc chị luôn luôn học giỏi
(=^.^=) (>^.^<)
Ta khai triển VT trước
\(VT=\frac{1-b-c+bc}{b+c}+\frac{1-c-a+ca}{c+a}+\frac{1-a-b+ab}{a+b}=\frac{\left(1-b\right)-c\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)-a\left(1-c\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)-b\left(1-a\right)}{1-c}=\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\)Với a,b,c luôn dương vào a+b+c=1 nên a,b,c<1\(\Rightarrow\)1-a,1-b,1-c>0
Áp dụng Cosi có \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}\ge2\left(1-c\right)\left(1\right)\).Tương tự: \(\frac{\left(1-c\right)\left(1-a\right)}{1-b}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-a\right)\left(2\right)\)
\(\frac{\left(1-c\right)\left(1-b\right)}{1-a}+\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{1-c}\ge2\left(1-b\right)\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có \(2VT\ge2\left(3-a-b-c\right)\Leftrightarrow VT\ge3-1=2\)
\(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{z+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{y+x}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}+\frac{x}{2z}\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge2.\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}+2.\sqrt{\frac{z}{2x}.\frac{x}{2z}}+2.\sqrt{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2y}}=1+1+1=3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
bạn tự c/m: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\left(b>a>0;c>0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}>\frac{2a}{a+b+c};\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2)
\(1< \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
đpcm
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
Do \(a\ge1,d\le50\left(and\right)c>b\left(c,b\in N\right)nên\left(c\ge b+1\right)\)thành thử
\(S=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b+1}{50}=\frac{b^2+b+50}{50b}\)
zậy BĐT của đề ra đc CM
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=1\\d=50\\c=b+1\end{cases}.}\)
ĐỂ tìm minS ta đặt
\(\frac{b^2+b+50}{50b}=\frac{b}{50}+\frac{1}{b}+\frac{1}{50}\)zà xét hàm số có biến số liên tục x
\(f\left(x\right)=\frac{x}{50}+\frac{1}{x}+\frac{1}{50}\left(2\le x\le48\right)\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{50}-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-50}{50x^2};f'\left(x\right)=0\hept{\begin{cases}x^2=50\\2\le x\le48\end{cases}\Leftrightarrow x=5\sqrt{2}}\)
Ta có bảng biến thiên
| x | 2 \(5\sqrt{2}\) 48 |
| f'(x) | - 0 + |
| f(x) | \(\rightarrow\)minf(x ) )\(\rightarrow\) |
chuyển zế biểu thức
\(f\left(b\right)=\frac{b^2+b+50}{50b}\left(2\le b\le48,b\in N\right)\)
từ BBT suy ra b biến thiên từ 2 đến 7 , f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48 . suy ra minf(b) = min[f(7) ;f(8)]
ta có
\(\hept{\begin{cases}f\left(7\right)=\frac{49+57}{350}=\frac{53}{175}\\f\left(8\right)=\frac{64+58}{400}=\frac{61}{200}>\frac{53}{175}\end{cases}}\)
zậy min S = 53/175 khi a=1 , b=7 , c=8 , d=50\
nguồn đại học học 2002 dự bị 5
Toán lớp 7
cái này dễ để em làm cho:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)
\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)
\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)
\(\Rightarrow E>1\)
\(\Rightarrow3-E< 2\)
CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)