K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
10 tháng 8 2017
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
12 tháng 11 2017
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8
TP
0
23 tháng 6 2021
Áp dụng bđt cosi schwart ta có:
`VT>=(a+b+c)^2/(a+b+c+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})`
Dễ thấy `sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}<a+b+c`
`=>VT>=(a+b+c)^2/(2(a+b+c))=(a+b+c)/2=3`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1.`
LT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 1 2022
a.
\(\sum\dfrac{ab}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\)
2.
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{a+b+2c+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{4}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2b}\right)=4.\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{a}{18}\)
Quay lại câu a
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\((ab+c)(ac+b)\leq \left(\frac{ab+c+ac+b}{2}\right)^2=\frac{(a+1)^2(b+c)^2}{4}\)
\((ab+c)(bc+a)\leq \left(\frac{ab+c+bc+a}{2}\right)^2=\frac{(b+1)^2(c+a)^2}{4}\)
\((ac+b)(bc+a)\leq \left(\frac{ac+b+bc+a}{2}\right)^2=\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{4}\)
Nhân theo vế:
\(\Rightarrow [(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2.\frac{[(a+1)(b+1)(c+1)]^2}{64}\)
Mà:
\((a+1)(b+1)(c+1)\leq \left(\frac{a+1+b+1+c+1}{3}\right)^3=(\frac{6}{3})^3=8\)
Do đó:
\(\Rightarrow [(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2.\frac{8^2}{64}\)
\(\Leftrightarrow[(ab+c)(ac+b)(bc+a)]^2\leq [(a+b)(b+c)(c+a)]^2\)
\(\Rightarrow (ab+c)(ac+b)(bc+a)\leq (a+b)(b+c)(c+a)\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$