BB
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
20 tháng 3 2020
Giả sử b= min {a,b,c}
\(VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}+\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+c^2}+\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{ab+c^2}\right)\)
\(\ge\left[\frac{27\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2\left(a+b+c\right)^3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)
Sau khi quy đồng ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Đó là điều hiển nhiên vì b = min {a,b,c}
18 tháng 12 2016
Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)
VT
14 tháng 3 2018
ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)
Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)
Tương tự, ta có
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)
Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)
=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0
\(P=a+ab+2abc=a+\frac{1}{2}a.4b\left(\frac{1}{2}+c\right)\le a+\frac{1}{2}a.\left(b+\frac{1}{2}+c\right)^2\)
\(P\le a+\frac{1}{2}a\left(3-a+\frac{1}{2}\right)^2=a+\frac{1}{2}a\left(\frac{7}{2}-a\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{2}a^3-\frac{7}{2}a^2+\frac{57}{8}a\)
\(P\le\frac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\frac{9}{2}\)
\(P\le\frac{1}{8}\left(2a-3\right)^2\left(a-4\right)+\frac{9}{2}\)
Do \(a+b+c=3\Rightarrow a< 3\Rightarrow a-4< 0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{8}\left(2a-3\right)^2\left(a-4\right)< 0\Rightarrow P\le\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{3}{2}\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{2}+b+c=3\\b=c+\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow b=...;c=...\)