Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Tìm GTNN của
\(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Một cách tương ứng khi đó:
\(\Rightarrow P=a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}\)
\(=3+3-\frac{\frac{3^2}{3}+3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
sử dụng bđt Cosi ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a-1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
chứng minh tương tự ta cũng được \(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge a+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
từ (1)(2)(3) => \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
mặt khác a2+b2+c2>= ab+bc+ca hay 3(ab+bc+ca) =< (a+b+c)2=9
do đó \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}=\frac{3}{2}+3-\frac{9}{6}=3\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Nếu mọi người nhận ra sẽ thấy cái điều kiện a+b+c=3 ko liên quan tới p thì sao mà giải đề này sai rồi
Cần CM: \(\frac{1}{a^2+b+c}=\frac{1}{a^2-a+3}\ge\frac{-1}{9}a+\frac{4}{9}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-5a^2+7a-3\le0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left(a-1\right)^2\le0\) ( đúng do \(0< a< 3\) )
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{-1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{12}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bđt Cauchuy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2a+b+c+a+2b+c+a+b+2c}\)
\(=\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(N_{min}=\frac{9}{4}\) tại \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
bài này dễ ẹt ak
nhưng giúp mình bài này đi
chotam giac abc . co canh bc=12cm, duong cao ah=8cm
a> tinh s tam giac abc
b> tren canh bc lay diem e sao cho be=3/4bc. tinh s tam giac abe va s tam giac ace ( bằng nhiều cách )
c> lay diem chinh giua cua canh ac va m . tinh s tam giac ame
ab+bc+ca = 4abc
<=> 1/a + 1/b + 1/c = 4
Áp dụng bđt : x^2+y^2+z^2 >= (x+y+z)^2/3 thì :
P >= 1/a^2+1/b^2+1/c^2)^2 /3
>= [(1/a+1/b+1/c)^2/3]^2/3
= [(4^2)/3^]2/3 = 256/27
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=3/4
Vậy ........
Tk mk nha
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)(a+b+c)\geq (1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=9\)
Vậy $P_{\min}=9$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Hoặc cách khác:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{a}+9a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.9a}=6\)
\(\frac{1}{b}+9b\geq 6\)
\(\frac{1}{c}+9c\geq 6\)
Cộng theo vế: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9(a+b+c)\geq 18\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9\geq 18\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 9\)
Vậy $P_{\min}=9$