Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (x^2+5-x^2)(2^2+1)=25\)
\(\Rightarrow A\leq 5\)
Vậy \(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
ĐKXĐ: \(5-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\)
Do đó : \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\geq 2x\geq -2\sqrt{5}\)
Vậy \(A_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
Bài 2 bạn xem xem có viết nhầm đề bài không nhé.
\(A=\frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}-2\)
Chỉ cần cho $b$ càng nhỏ thì giá trị của $A$ càng nhỏ rồi, mà lại không có điều kiện gì của $b$ ?
Câu 1:
Ta có: Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge4,5\) (*)
và BĐT Cau -chy ta có:
\(P+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)
\(+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
<=> \(P+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
\(+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}\)
<=> \(P+3\ge4,5+6=10,5\) ( Theo (*)) => \(P\ge7,5\)
=> Dấu = xảy ra <=> a = b = c
từ $x\le 3$ suy ra $x=3$ là điểm rơi
suy ra $y=8$ suy ra $P_{max}= 3*8=24$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
am-gm :a3/V(b2+3)+a3/V(b2+3)+(b2+3)/x tự tìm số x dựa theo Min của bài (dự đoán a=b=c=1/3)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{b}.b}=2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2}{c}.c}=2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2}{a}.a}=2c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2a+2b+2c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT cosi cho 3 số a,b,c dương:
\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b}{b}}=2a\\ \dfrac{b^2}{c}+c\ge2\sqrt{\dfrac{b^2c}{c}}=2b\\ \dfrac{c^2}{a}+a\ge2\sqrt{\dfrac{c^2a}{a}}=2c\)
Cộng vế theo vế 3 BĐT trên
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Giải :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac{1}{b^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{ab}\left(1\right)\\ \dfrac{1}{b^5}+\dfrac{1}{c^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{bc}\left(2\right)\\ \dfrac{1}{c^5}+\dfrac{1}{a^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{ca}\left(3\right)\)
\(Từ\left(1\right),\left(2\right)và\left(3\right),cộng\)\(vế\) \(theo\) \(vế\) \(ta\) \(có\) :
\(2P+9\ge5\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=5.\dfrac{c+a+b}{abc}=5.\dfrac{3abc}{abc}=15\)
\(\Rightarrow2P\ge6\\ \Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3abc\\\dfrac{1}{a^5}=\dfrac{1}{b^5}=\dfrac{1}{c^5}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(Min_P=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Một cách sử dụng AM-GM khác?
\(\frac{1}{a^5}+1+1+1+1\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{a^5}}=\frac{5}{a}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P+12\ge5\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge5\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}=5\sqrt{3.\frac{a+b+c}{abc}}=15\)
Hay \(P\ge15-12=3\)
Đẳng thức xảy r a khi a = b = c = 1.
P/s: Em hóng lên 200 GP môn toán quá:( còn 16 gp nữa...