Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(A=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{4}{2}=2\)
A min = 2 khi a =b =1
b) x = 8 -2y => \(B=xy=\left(8-2y\right)y=-2y^2+8y-8+8=-2\left(y-2\right)^2+8\le8\)
B max = 8 khi y = 2 ; x = 4
Bài 1 bạn phải dùng BDT Bunhiacopxki : ( ax +by )2 <= ( nhỏ hơn bằng ) ( a2 + b2 )( x2 + Y2 )
Ở đây hệ số của x là 1 nên a là 1.
Ta có: ( x + 2y )2 <= ( 12 + (căn2)2 ) ( x2 + ( căn 2 )2y2 )
=> 1 <= 3 ( x2 + 2y2 )
=> x2 + 2y2 >= 1/3
a) A = x( 5 - 3x ) = -3x2 + 5x = -3( x2 - 5/3x + 25/36 ) + 25/12
= -3( x - 5/6 )2 + 25/12 ≤ +25/12 ∀ x
Dấu "=" xảy ra khi x = 5/6
Vậy MaxA = 25/12 <=> x = 5/6
b) Từ x + y = 7 => x = 7 - y
Ta có : xy = ( 7 - y ).y = 7y - y2 = -( y2 - 7y + 49/4 ) + 49/4 = -( y - 7/2 )2 + 49/4 ≤ 49/4 ∀ y
Dấu "=" xảy ra <=> y = 7/2 => x = 7/2
Vậy Max(xy) = 49/4 <=> x = y = 7/2
( nếu cho x,y dương thì Cauchy nhanh gọn luôn :)) )
\(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\)
a/ \(A=x^2+y^2=\left(1-2y\right)^2+y^2=5y^2-4y+1=5\left(y-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)
\(A_{min}=\frac{1}{5}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\\y=\frac{2}{5}\end{matrix}\right.\)
b/ \(B=\left(1-2y\right)y=-2y^2+y=-2\left(y-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{8}\le\frac{1}{8}\)
\(B_{max}=\frac{1}{8}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz)
\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky)
\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)
\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3
a) \(a+b=2\)
=> \(b=2-a\)
\(A=a^2+\left(2-a\right)^2=2a^2-4a+4=\left(\sqrt{2}a-\sqrt{2}\right)^2+2\ge2\)
Vậy \(A_{min}=2\)
b) \(x+2y=8\)
=> \(x=8-2y\)
\(B=y\left(8-2y\right)=8y-2y^2=8-\left(\sqrt{2}y-2\sqrt{2}\right)^2\le8\)
Vậy \(B_{max}=8\)
a) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=1\).
b) \(\left(x-2y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+4y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+4xy+4y^2\ge8xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+2y\right)^2}{8}=\frac{8^2}{8}=8\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\).
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{2x+y+z}{2}\)
cmtt => GTLN
Tìm max:
Ta có:
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+xz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{2x+y+z}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2y+zx}\le\frac{2y+z+x}{2}\left(2\right)\\\sqrt{2z+xy}\le\frac{2z+x+y}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(A\le\frac{2x+y+z}{2}+\frac{2y+z+x}{2}+\frac{2z+x+y}{2}=2\left(x+y+z\right)=4\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
Tìm min:
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x+yz}\ge0\\\sqrt{2y+zx}\ge0\\\sqrt{2z+xy}\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,2;2,-2,2;2,2,-2\right)\)
cho 3x + y =1. a> Tìm GTNN M= 3x^2 + y^2 . b> tìm GTLN M= xy
Làm đề ni dùng mk đề trên viết sai 1 chút..... xl ạ
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{3}{2}\)
____
\(x+2y=8\Leftrightarrow x=8-2y\)
\(B=xy=y\left(8-2y\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left(y^2-4y+4-4\right)\)
\(\Leftrightarrow B=-2\left[\left(y-2\right)^2-4\right]=8-2\left(y-2\right)^2\le8\forall y\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=4\end{matrix}\right.\)