NV
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
P
4 tháng 12 2017
cau b . ta co
a4+b4\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\frac{1}{16}}{2}\)=1/32
4 tháng 12 2017
câu a đề phải là 12ab
Dùng BĐT cô si
\(ab\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)
DT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 6 2020
\(a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\right)^2=\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\ge\frac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
KB
7 tháng 4 2019
Do a ; b ; c \(\ge1>0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta được :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT trên vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{4}{2a-1+1}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{2b-1}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{2c-1}+1\ge\frac{2}{c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(3\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( đã c/m ) , ta có :
\(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\left(4\right)\)
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) \(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\2b-1=1\\2c-1=1;a=b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ...
9 tháng 3 2019
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}=8\left(a^4+b^4+0,5^4+0,5^4\right)+\frac{1}{ab}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge8.4.\sqrt[4]{a^4.b^4.0,5^4.0,5^4}+\frac{1}{ab}-1=8.ab+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge2.\sqrt{8ab.\frac{1}{2ab}}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}-1=4+2-1=5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
9 tháng 3 2019
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và AM-GM ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2.\sqrt{\frac{1}{a^2}.4}+2.\sqrt{\frac{1}{b^2}.4}-4=\frac{1}{2}+2.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{b}-4\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}-4=12,5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Theo mình đề bài là chứng minh \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12,5\)
Tham khảo nhé~
LL
1
3 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=\frac{1}{8}\) (dpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NT
3
KH
9 tháng 5 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab+a^2+ab-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
T
6 tháng 9 2019
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(a^4+2a^2b^2+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
Và: \(a^4-2a^2b^2+b^4=\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
Và: \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(đpcm\right)\)
Ta có \(a+b=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\left(1\right)\)
Lại có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}\left(3\right)\)
Mặt khác: \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\left(4\right)\)
Cộng từng vế (3) và (4) ta được
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{1}{4}\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
Bđt được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)