Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}=8\left(a^4+b^4+0,5^4+0,5^4\right)+\frac{1}{ab}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge8.4.\sqrt[4]{a^4.b^4.0,5^4.0,5^4}+\frac{1}{ab}-1=8.ab+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge2.\sqrt{8ab.\frac{1}{2ab}}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}-1=4+2-1=5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và AM-GM ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2.\sqrt{\frac{1}{a^2}.4}+2.\sqrt{\frac{1}{b^2}.4}-4=\frac{1}{2}+2.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{b}-4\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}-4=12,5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Theo mình đề bài là chứng minh \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12,5\)
Tham khảo nhé~
Áp dụng bđt Caucy Schwarz dạng Engel ta có:
\(\frac{4}{a+2b+c}+\frac{4}{2a+b+c}+\frac{4}{a+b+2c}=\) \(\frac{2^2}{a+2b+c}+\frac{2^2}{2a+b+c}+\frac{2^2}{a+b+2c}\ge^{ }\)\(\frac{\left(2+2+2\right)^2}{\left(a+2b+c\right)+\left(2a+b+C\right)+\left(a+b+2c\right)}\)=\(\frac{6^2}{4\left(a+b+c\right)}\) \(\frac{9}{a+b+c}\)(đpcm)
Thêm chữ "h" vào giữa chữ "c" và "y" chỗ áp dụng ... ấy
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Phạm Vũ Trí Dũng - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. x2-4x+4+9=(x-4x+4)+9=(x-2)2+9 >=9. nên pt vô nghiệm
2. \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng). dpcm
cau b . ta co
a4+b4\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)\(\ge\)\(\frac{\frac{1}{16}}{2}\)=1/32
câu a đề phải là 12ab
Dùng BĐT cô si
\(ab\ge2\sqrt{ab}\)
\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)